微分 極値

質問

http://okwave.jp/qa/q7181976.htmlで質問させていただいたものです。

上記URLの質問での解答
ANo.5　の

＞z=x^4+y^4-4x^2-4y^2+8xy
＞zx=zy=0より停留点は
＞(x,y)=(0,0),(2,-2),(-2,2)

なのですが、(0,0)はすぐでたのですが、（2,-2）、(-2,2)はどのようにして求まるのでしょうか。

ただの方程式だとはおもうのですが、うまく出せません。代入して正しい解であることは確認できたのですが、その解の求め方を教えていただけるとありがたいです。

簡単な質問で申し訳ありません。大分解き方を忘れてしまっているようなのでご容赦願いたいです。
よろしくお願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

前の質問の回答者です。

>上記URLの質問での解答 ANo.5　の

＞z=x^4+y^4-4x^2-4y^2+8xy
＞zx=zy=0より停留点は
＞(x,y)=(0,0),(2,-2),(-2,2)

>なのですが、(0,0)はすぐでたのですが、
>（2,-2）、(-2,2)はどのようにして求まるのでしょうか。
計算されたのなら途中計算を書いて質問するようにして下さい。

　zx=4x^3-8x+8y=4(x^3-2x+2y)=0 …(A)
　zy=4y^3-8y+8x=4(y^3-2y+2x)=0 …(B)

(A)+(B)より
x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=0
　x+y=0 …(D) または x^2-xy+y^2=0 …(E)
(E)のとき
　x^2-xy+y^2=(x-(y/2))^2+(3/4)y^2=0
　y=0かつx=y/2 ∴(x,y)=(0,0) …（F）
(D)のとき
　y=-x …(G)
(A)に代入
　x^3-2x-2x=x(x-2)(x+2)=0
x=0,x=2,x=-2
(F)に代入して
　(x,y)=(0,0),(2,-2),(-2,2) …(H)

(F),(H)をまとめたのが(A),(B)の解となります。

回答No.2

Tacosan

え? 「(1) のほう」って, どういう意味? 連立方程式なんだから, 「(1) のほう」も「(2) のほう」もなく「両方成り立たせないとダメ」でしょ?

(1), (2) ともに因数分解できて, 計 4通りの組み合わせから適切なものを選べばいい... わけだけど, 先に (2) を処理した方が楽.

回答No.1

Tacosan

偏導関数を足したり引いたりしてみたら?

補足

Zx=4x^3-8x+8y=0
Zy=4y^3-8y+8x=0

(1)Zx-Zy : x^3-4x-y^3+4y=x(x^2-4) - y(y^2-4) = 0
(2)Zx+Zy : x^3+y^3=0

(2,-2)、(-2,2)は(1)のほうだとは思うのですが、ここから

(x^2-4)=0
-(y^2-4)=0
∴（x,y)=(±2,マイナスプラス2)

という考え方はできるのでしょうか？