タンク浄化の微分方程式の立て方を教えて下さい

質問

以下の計算をしたいと考えています。

60m3のタンクにA元素イオンが1000g/m3含まれています。これを0.04m3/hで1年間かけて掛け流して浄化したら、50g/m3になりました。このとき、浄化に使用した水にもA元素イオンが含まれており、これが、どれくらい含まれていたかを計算したいと考えています。
仮定として流れ出るときの濃度は、タンクの濃度は均一になっていると考えます。

タンクのA元素イオンの濃度をC（ppm）、浄化時間をT（h）、浄化水のA元素イオンの濃度をA（ppm）としたとき以下の微分方程式を立てて計算したのですが、うまく値が出ず、式が間違っているようです。どこが、間違っているか教えて頂ければと思います。

ｄC／ｄT＝（4×T×A＋（6000‐4×T）C）／6000

お願いします。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

反応工学でいう一次反応の式の形ですね。もし浄化水に物質Ａが含まれていないとすると、タンク内のＡの濃度変化ｄＣ／ｄＴはＣに比例することになります。
ｄＣ／ｄＴ＝ｋＣ
実際には浄化水にもＡが含まれているので完全比例にはならないですが基本は同じで、微分方程式にＴが入ってくるのはおかしいですね。

タンク内の濃度がCのとき、単位時間当たりのAの流出量は０．０４C、流入量は０．０４Aですから、物質収支としては０．０４（A-C)となります。従ってタンク内の濃度変化は
０．０４（A-C)／６０＝（A-C)／１５００
です。よって
ｄＣ／ｄＴ＝（Ａ－Ｃ）／１５００
変数分離して
ｄＣ／（Ａ－Ｃ）＝ｄＴ／１５００
積分して
－ｌｎ（Ａ－Ｃ）＝Ｔ／１５００＋Ｚ　（Ｚ＝積分定数）
Ｔ＝０のときＣ＝１０００なので
Ｚ＝ーｌｎ（Ａ－１０００）
Ｔ＝一年（仮に８８００時間としておきます）のときＣ＝５０なので
－ｌｎ（Ａ－５０）＝８８／１５－ｌｎ（Ａ－１０００）
ｌｎ（（Ａ－１０００）／（Ａ－５０））＝８８／１５
これを解けばＡが判ります。

お礼

ありがとうございます。

なるほど、こうやればできるんですね。

これで、明日は休める。

本当に助かりました。

回答No.2

FT56F001

(#1さんでよいのですが，確認をかねて別に解いて見ました。)

ΔT時間にタンクに入るA元素がA*Q*ΔT，ただしQは流量でQ=0.04m^3/h
ΔT時間にタンクから流れ出すA元素がC*Q*ΔT，
この差がタンク内のA元素量の変化なのでΔCV，ただしVはタンク体積でV=60m^3
よって
dC/dT=(A-C)Q/V
となります。この解は
C=A+(C0－A)*exp(-T*Q/V)
ただし，C0はT=0における初期濃度でC0=1000g/m^3
V/Q=60m^3÷0.04m^3/h=1500h
1年後T=8800hでC=50g/m^3になったということですから，
50-A=(1000-A)*exp(-8800/1500)
これより，A=47.3g/m^3となります。

1500時間(約2ヶ月)でタンクの水が全部入れ替わる程度に洗い流していたので，
元から1000g/m^3あったA元素は，タンク内に2.7g/m^3しか残っていない。
1年後の測定値50g/m^3は，ほとんど新規に入れた浄化水の濃度で，
わずかに1年前の残りの分だけ大きくなっている。
という結論ですね。

お礼

更に、詳しい説明ありがとうございます。

私が計算したものとチェックできるので助かりました。

本当に、ありがとうございました。