誤差の数式

質問

お世話になります

数学が得意でないので教えていただきたいのですが

誤差が±1mmの計測で10Point計測した場合
MAXは1mm×10で10mmなのは単純計算でよいと思うのですが、
発生率を加味すると＋の場合-の場合があるので、最終的には±1mmになるのでしょうか？
その時の数式を教えていただけないでしょうか

回答No.1

hitokotonusi · ベストアンサー

10点の平均値についてということであれば、誤差を標準偏差で測るとして±1/√10 mmになります。

平均μi , 標準偏差σiの独立な測定値xiに対して, ciを定数として

y = c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 + ・・・・

の平均<y>と標準偏差σyは

<y> = c1 μ1 + c2 μ2 + c3 μ3 + ・・・・
σy^2 = c1^2 σ1^2 + c2^2 σ2^2 + c3^2 σ3^2 + ・・・・

が成り立ちます。平均Xを求める場合は

X = (x1 + x2 + x3+ ・・・) /n = (1/n) x1 + (1/n) x2 + (1/n) x3 + ・・・

となるので

c1 = c2 = c3 = ・・・・ = 1/n

xiが全て同じ量なので平均と分散が等しく

μ1 = μ2 = μ3 = ・・・・ = μ
σ1 = σ2 = σ3 = ・・・・ = σ

これを代入すると

<X> = (1/n) nμ=μ
σX^2 (1/n)^2 nσ^2 = σ^2/n ∴ σX = σ/√n

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回答No.2

stomachman

計算以前に、言葉の意味に大問題があるんです。

> 誤差が±1mmの計測で10Point計測した場合

「10Point計測」とは同じものを10回測ったのだろうと推察しますが、さて、「誤差が±1mm」とは一体どういう意味でしょうか。
(1) 誤差の絶対値が最大でも1mmである。
(2) 誤差の標準偏差が1mmである。
のどちらとも取れます。大抵は(2)の意味で言うものですが、たとえば「2mm刻みの目盛りが付いた物差しで、最寄りの目盛りの値を読み取った。これに比べて他に考慮すべき誤差の要因はない」という場合なら(1)の主張も成り立つでしょう。

> MAXは1mm×10で10mmなのは単純計算でよいと思うのですが、

　MAXとは一体何の事でしょうか。そんな用語は統計学にはありませんが、おそらくMAX=maximum(最大値)のことだろうとは推測が付きます。しかし、それでもナニの最大値に関するナニの話をしているのかまでは、はっきりしません。
　もし、MAXが「10回測定したときの最悪の誤差の上限(つまり、誤差の絶対値を10回の測定で比べて一番大きいものを選び出したとき、その値が、「これより大きくはならない」という上限）」という意味だとするならば、(1) の場合は単に一番悪かった誤差だけを取り出すだけだから、やはり誤差は±1mm。
　一方、(2)の場合には、いくらでも大きな誤差があり得ますので、MAXとは「10回測定した時の誤差の絶対値の最大値の期待値」あるいは「10回測定した時の誤差の絶対値の最大値が、ある確率(たとえば99%)でx以下であるような、そのx」という意味でなくてはならないでしょう。

> 発生率を加味すると＋の場合-の場合があるので、最終的には±1mmになるのでしょうか？

　10回の計測値の平均値が含む誤差について考えているのなら、「＋の場合-の場合」が打ち消し合う効果を考慮することになります。
　しかし、MAX（上記のどれかの意味）を考える分には、単に一番悪かった誤差だけを取り出すだけだから、「＋の場合-の場合」は打ち消し合わない。

　もし実務でお困りならば、職場のワカッテル人に職場特有の用語（「誤差±1mm」だの、「10Point測定」だの、「MAX」だの）の正確な意味を尋ねる（=一番手っ取り早いのは計算方法を教わること）か、あるいは、「どういう状況で、どういう目的でそれらの数値を計算したいのか」をここに補足なさる必要があるでしょう。

お礼

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