命題について。

質問

次の命題の真偽を答えよ。 1辺の長さが1の正7角形の対角線の短い方の長さをx、長い方の長さをyとするとき、x,yはそれぞれx^3-x^2-2x+1=0かつy^3-2y^2-y+1=0を満たす。
この問題をご教授下さい。すみませんが。

回答No.3

staratras · ベストアンサー

No.2です。誤記がありました。失礼しました。
誤：正弦定理から1/sin(π/7)=x/sin(π/7)=2R だから
正：正弦定理から1/sin(π/7)=x/sin(5π/7)=2R だから

なおyについても同様の方法で命題が真であることがわかります。あらすじだけ書きます。
まず正弦定理から(途中の計算省略）y=2cos(2π/7)+1 を得ます。
これをy^3-2y^2-y+1に代入すると
8cos^3(2π/7)+4cos^2(2π/7)-4cos(2π/7)-1 となりますが、これを変形すると２{cos(6π/7)+cos(4π/7)+cos(2π/7)}+1　…（１）となります
{　}の中は-1/2になりますので（１）は０となり命題が成り立ちます。

なおcos(6π/7)+cos(4π/7)+cos(2π/7)=-1/2となることは、下の図の単位円上の正7角形を考えると
cos0+cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)+cos(8π/7)+cos(10π/7)+cos(12π/7）=0となることから明らかです。
cos0=1　cos(2π/7)=cos(12π/7)　cos(4π/7)=cos(10π/7)　cos(6π/7)=cos(8π/7)　だからです。

お礼

すみません。以下のURLの写真は、先生の回答です。ご教授下さい。補足のURLの事です。

補足

すみません。以下のURLを見ていただけると幸いです。何故EA＝yを使わなかったのでしょうか？
ご教授下さい。すみませんが。

回答No.2

staratras

とりあえずxについては真です。
まず1辺の長さがの正7角形の対角線の長さを求める。

正7角形の内角は5π/7であり、正7角形の外接円（半径R)を考えると下の図で●をつけた角はすべてこの外接円の円周を7等分した円弧に対する円周角であるからπ/7である。

正弦定理から1/sin(π/7)=x/sin(π/7)=2R だから　
x=sin(5π/7)/(sin(π/7)=sin(2π/7)/(sin(π/7)=2cos(π/7)…（１）

（１）をx^3-x^2-2x+1に代入して整理すれば
8cos^3(π/7)-4cos^2(π/7)-4cos(π/7)+1を得、これを変形すれば
2{cos(3π/7)-cos(2π/7)+cos(π/7)}-1…（２）となるが、
cos(3π/7)-cos(2π/7)+cos(π/7）
=2sin(π/7){cos(3π/7)-cos(2π/7)+cos(π/7)}/2sin(π/7)
={2sin(π/7)cos(3π/7)-2sin(π/7)cos(2π/7)+2sin(π/7)cos(π/7)}/2sin(π/7)
={sin(4π/7)+sin(-2π/7)-sin(3π/7)+sin(π/7)+sin(2π/7)+sin0}/2sin(π/7)
=sin(π/7)/2sin(π/7)=1/2 であるから
（２）の2（cos(3π/7)-cos(2π/7)+cos(π/7))-1=０であり
x^3-x^2-2x+1=０となる。

お礼

すみません。x／sin (5/7π)でした。失礼いたしました。

補足

正弦定理よりのところで、x／(5／7π)＝2Rの間違いではないでしょうか？すみません。揚げ足をとって。ご教授下さい。すみませんが。

回答No.1

178-tall

これの中から探してみて…。
　　　　↓
http://shochandas.xsrv.jp/figure/heptagon.htm