数学 三角関数 問題

質問

次の三角関数の値を求めよ。
（１）ｔａｎ５π／１２
の解き方を教えてください。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

#1さんのヒントで分からないですか？

そうなら教科書でtanの加法定理の公式（加法定理2）を復習して下さい。
（URL:「http://homepage3.nifty.com/sugaku/kousikisankaku.pdf」の加法定理2）
　tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)　…(1)
A+B=5π/12=(2π+3π)/12=(π/6)+(π/4)
なので　A=π/6, B=π/4　を(1)に代入すれば計算出来るでしょう。
tanA=tan(π/6)=1/√3, tanB=1/√2　より
　tan(5π/12)=((1/√3)+(1/√2))/(1-(1/√3)(1/√2))
分子・分母に(√3)(√2)=√6を掛けて
=(√2+√3)/(√6 -1)
分母の有理化をして
=(√2+√3)(√6 +1)/{(√6 -1)(√6 +1)}
　　　　　　 =(3√3+4√2)/(5-1)
後は式を簡単にすれば良いでしょう。

別解)　加法定理2(tanの加法定理)を使わない方法
(π/4)<(5π/12)<(π/2)より
　1<tan(5π/12) …(★)
tan^2(5π/12)=sin^2(5π/12)/cos^2(5π/12)

半角の公式を適用して
　={1-cos(5π/6)}/{1+cos(5π/6)}
={1+cos(π/6)}/{1-cos(π/6)}
={1+(√3/2)}/{1-(√3/2)}
　=(2+√3)/(2-√3)
　=(4+2√3)/(4-2√3)
={(√3+1)^2}/{(√3-1)^2}

　tan^2(5π/12)={(√3+1)/(√3-1)}^2
両辺の平方根をとると(★)より
　tan(5π/12)=(√3+1)/(√3-1)
分母の有理化をすると
=(√3+1)(√3+1)/{(√3+1)(√3-1)}
={(√3+1)^2}/(3-1)
=(4+2√3)/2

∴tan(5π/12)=2+√3

回答No.1

ONEONE

5π/12 = 3π/12 + 2π/12 = π/4 + π/6
として、tanの加法定理を適用します。