三角関数の問題です。

質問

三角関数の問題です。

０≦θ＜２πの時

(1)tan（θ-π/6）>1
(2)sin（2θ+π/6）≦-1/2

以上２題を教えて戴ければと思います。

回答No.1

sanori

こんにちは。おっさんです。
これ、超がつく基本問題なので、しっかりマスターして二度と他人に聞かないようにしてください。

（１）
ｘ　＝　θ　－　π／６
と置くだけです。
あとは、機械的作業です。

まず、
tanｘ　＝　sinｘ／cosｘ
です。
つまり、
tanｘ　＞　１　というのは、
sinｘ／cosｘ　＞　１
・sin と cos がともに正で、sinｘ　＞　cosｘ
または
・sin と cos がともに負で、sinｘ　＜　cosｘ
ということです。
もっと簡単に言えば、
・sin と cos の符号が一致して、なおかつ、｜sinｘ｜＞｜cosｘ｜
ということです。

第１象限では、４５°＜　ｘ　＜　９０°（　π／４　＜　ｘ　＜　π／２　）
第２象限は、sinはプラス、cosはマイナスなので、sinｘ／cosｘ　＜　０　（すべて不合格）
第３象限では、２２５°≦　ｘ　＜　２７０°（　５π／４　＜　ｘ　＜　３π／２　）
第４象限は、sinはマイナス、cosはプラスなので、sinｘ／cosｘ　＜　０　（すべて不合格）
（tanｘ の周期は２πではなくπなので、第３、第４象限は省略可ですが。）

以上のことから、
π／４　＜　ｘ　＜　π／２
５π／４　＜　ｘ　＜　３π／２
しかし、sinとcosの周期は２πなので、整数ｎを用いて、
π／４　＋　２ｎπ　＜　ｘ　＜　π／２　＋　２ｎπ
５π／４　＋　２ｎπ　＜　ｘ　＜　３π／２　＋　２ｎπ

ここで初めてθが登場します。
π／４　＋　２ｎπ　＜　θ　－　π／６　＜　π／２　＋　２ｎπ
５π／４　＋　２ｎπ　＜　θ　－　π／６　＜　３π／２　＋　２ｎπ
（あるいは、tan の周期はπなので、
　　　π／４　＋　ｎπ　＜　θ　－　π／６　＜　π／２　＋　ｎπ
　の１本だけでも可。）

あとは、０≦θ＜２π　に入るようにｎの値を限定すれば、θの範囲が出ます。

（２）
ｘ　＝　２θ　＋　π／６　と置くだけです。
あとは、機械的作業です。

sinｘ　≦　－１／２
１８０°＋　３０°≦　ｘ　≦　３６０°－　３０°
π　＋　π／６　≦　ｘ　≦　２π　－　π／６
しかし、sin は周期が２πの周期関数なので、
π　＋　π／６　＋　２ｎπ　≦　ｘ　≦　２π　－　π／６　＋　２ｎπ
ここで初めてθが登場します。
π　＋　π／６　＋　２ｎπ　≦　２θ　＋　π／６　≦　２π　－　π／６　＋　２ｎπ

あとは、０≦θ＜２π　に入るようにｎの値を限定すれば、θの範囲が出ます。