微分を偏微分するには？

質問

たとえば以下のような式があります。

　　　 y(x) = ax^2 + bx + c

このとき、yの導関数を、yで微分した値、つまり次式はどのように計算すればよろしいのでしょうか？

∂(dy/dx)/∂y = ?

どなたかよろしくお願いします。

回答No.2

cielarko

与式を
(1) F(x, y) := a * x ^ 2 + b * x + c - y = 0
と置きます。
∂F/∂x ≠ 0
∂F/∂y ≠ 0
の時は陰関数定理が使えるので，(1)より局所的にyがxの関数として表せる，即ちy = φ(x)として
(2) F(x, φ(x)) ≡ 0 （≡は恒等記号）
と表せます。これは(1)をyについて解いたものを(1)の左辺に代入したものなので，当然(2)の左辺は恒等的に0になります。
よって，両辺xで微分しても等号は依然成り立ち
(3) ∂F/∂x + ∂F/∂y * dφ/dx ≡ 0
となります。

(3)の左辺はx, yの関数（これをG(x, y)と定義します）ですが，今回の御質問においては，このx, yは自由に選べる訳ではなく，(1)を満たすx, yである事を意図されていると思いますので，(1)をxについて解いて今度はx = ψ(y)として
(4) G(ψ(y), y) ≡ ∂F/∂x(ψ(y), y) + ∂F/∂y(ψ(y), y) * dφ/dx(ψ(y)) ≡ 0
となります。

(4)も恒等式なので，中辺，右辺をyで微分して
∂(∂F/∂x)/∂x * dψ(y)/dy + ∂(∂F/∂x)/∂y
　 + [∂(∂F/∂y)/∂x * dψ(y)/dy + ∂(∂F/∂y)/∂y] * dφ/dx + ∂F/∂y * d(dφ/dx)/dy ≡ 0
(5) ∴ d(dφ/dx)/dy = -1 / (∂F/∂y) * {∂(∂F/∂x)/∂x * dψ(y)/dy + ∂(∂F/∂x)/∂y
　 + [∂(∂F/∂y)/∂x * dψ(y)/dy + ∂(∂F/∂y)/∂y] * dφ/dx}
が得られます。

よって具体的な式は(1)より得られる
∂F/∂y = -1
∂(∂F/∂x)/∂x = 2 * a
dψ(y)/dy = - (∂F/∂y) / (∂F/∂x) = 1 / (2 * a * x + b)
∂(∂F/∂x)/∂y = ∂(∂F/∂y)/∂x = ∂(∂F/∂y)/∂y = 0
を(5)の右辺に代入すれば
d(dφ/dx)/dy = (2 * a) / (2 * a * x + b)
となります。

計算途中で逆関数が出て来るので，全領域に渡り∂(dy/dx)/∂yを一意的に求めるのは与式が単調関数でも無い限り不可能です。よって局所的に逆関数の関係が得られる場合のみ∂(dy/dx)/∂yの値が得られるので，陰関数定理が今回の御質問を理解する上で鍵となります。
この方法だと与式のみならず他の関数が与えられた場合もある程度対応出来るのではないでしょうか

回答No.1

kishiura

y'=2ax+b です。これはいいですね。
ここで重要なのは、δ(dy/dx)/δy=1/(δy/δ(dy/dx))　であるということです。そこで、δy/δ(dy/dx)を考えます。
dy/dx=2ax+b=p　とおきます。これより、x=(p-b)/2a となります。
これをy=ax^2+bx+c に代入し、ｐで微分し、ｐをｘの式に戻し、これの逆数を求めればよいのです。

お礼

早速の回答、ありがとうございます。
たしかにこの問題に限ってはこの解法で良いのですが、例えば
y　=　a・sinx + bx^2 + cx + d
といった風に、三角関数が絡む場合は、どうしたら良いのでしょうか？