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※ ChatGPTを利用し、要約された質問です(原文:リベンジ:東大入試(ただし文系でも解ける)っぽい問題)
東大入試(ただし文系でも解ける)っぽい問題
このQ&Aのポイント
- 高校の「文系」数学の範囲で解ける東大入試(ただし文系でも解ける)っぽい問題を自作して、自分で解けなかったので、くやしーので、自分でちゃんとといて問題を作ってみました。
- p,q,r,sは、全て、1,3,5,7の中のいずれかの数値であり、同じ数値が存在してもかまわないものとする。4096 / ( (p + q + r + s)^2 ) が整数となるときの、p,q,r,sの取り得る値は何通りあるか、答えよ。
- この問題は東大入試の難易度に近いレベルであり、文系の学生でも解ける範囲の数学問題である。しかし、解答においてはうまく説明できない部分があるかもしれないので、注意が必要である。
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質問者が選んだベストアンサー
p≦q≦r≦s とする。 4096=2^(12) だから分子は2^kになればいい。 したがって、p+q+r+s=4,8,16 p+q+r+s=4 のとき (p,q,r,s)=(1,1,1,1) p,q,r,sの並び方を考えて →1通り p+q+r+s=8 のとき (p,q,r,s)=(1,1,1,5),(1,1,3,3) →4+6=10通り p+q+r+s=16 のとき (p,q,r,s)=(1,1,7,7),(1,3,5,7)(1,5,5,5),(3,3,3,7),(3,3,5,5) →6+24+4+4+6=44通り したがって、1+10+44=55通り 合ってますか? 東大というほどのレベルではないと思いますよ。
お礼
ご回答ありがとうございます。 ずばり、合ってます。 ・・・というか、4096なんてベタな数字を出したのが失敗でした。 最初は、分子も(a + b + c ) ^ ?とかいろいろ考えてたんですけどね・・・ なんだか冗長な解答になりそうな気がして、気を抜いてしまいました・・・。 ちなみに、4096が2^12だと分からない人を前提にして、 自分は解いてみました。 ま、ご回答の2行目以外は全て同じですが・・・。 なんというか、赤本的な解答で解いてみました。 しかし、自分、計算ミスしてしまった・・・。5点マイナスだなこりゃ・・・じぶん。 一応、自分の解き方は、まだ、伏せておきます。 あ、でも、東大でも文系の数学って、ラッキー問題は結構こんなもんですよ。 ともあれ、ありがとうございました。
補足
やっぱり簡単すぎましたね・・・ということで、自分の回答です。 長いかもしれませんが、悩まず一気に計算しました。 p≦q≦r≦s とする。 このとき、4096 / ( ( p + q + r + s)^2 ) ≦ 4096 / (4*p)^2 ≦ 4096 / (4*1)^2 = 4096 / 16 = 256 ・・・(1) また、1,3,5,7から任意の4つの数字を選んだ場合(4つの数字の中に一致するものがあってもかまわないもとする)、 その4つの数字の合計を、Rとおく。 このとき、Rの取り得る値は、4,6,8,10,12,14,16,18,20,24,26,28 のみである。・・・(2) //----------------------------------------------------------- //----------------------------------------------------------- 【私的注記】 入試だとすると、(2)の根拠が不十分かもしれないため、下に、丁寧に根拠を書いてみる。 **************************************************************** p≦q≦r≦s とする。 また、 1 = 1 3 = 1 + 2 5 = 3 + 2 7 = 5 + 2 である。 R のとりうる値として、最小値が4であることは自明。(p=q=r=s=1のとき)・・・(A) また、 (i)p≠7の場合 「R のとりうる値」として g が存在するとき、 p + 2 は、3,5,7のいずれかである。 よって、「R のとりうる値」として、g + 2が存在する。・・・(B) (ii)p=7の場合 P = q = r = s = 7となり、R = 28 である。そして、これが、Rのとりうる値の最大値であることは自明である・・・(C) 以上(A)(B)(C)の結果、数学的帰納法により、 「R のとりうる値」の一部として、4,6,8,10,12,.....26,28(4以上28以下の偶数すべて)が得られる。 //----------------------------------------------------------- //----------------------------------------------------------- また、 4^2=16,6^2=36,8^2=64,10^2=100,12^2=144,14^2=196,15^2=225,16^2=256である。・・・(3) また、 4096/16,4096/36,4096/64,4096/100,4096/144,4096/196,4096/225,4096/256 のうち、整数で割りきれるものは、 4096/16、4096/64、4096/256 のみである。・・・(4) ∴(1)、(2)、(3)、(4)より、p+q+r+sは、4,8,16のいずれかである。 以下は、#1さんの回答と同じです。 -- ふと思いついた、ほかの別解 p≦q≦r≦s とする。 このとき、4096 / ( ( p + q + r + s)^2 ) ≧ 4096 / (4*p)^2 ≧ 4096 / (4*1)^2 = 4096 / 16 = 256 ・・・(1) ∴4096 / 256 ≧ (p + q + r + s)^2 ⇔ 16 ≧ p + q + r + s 以下はまあ、お好きなように・・・。 -- ありがとうございました。