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高速回転する円盤の円周はローレンツ短縮しますか？
剛体の円盤が円の中心を中心として高速で回転するとき、回転することによって直径が変わることは無いと思いますが、円周は静止系から見てローレンツ短縮するのでしょうか？ 「しない」が正解だとしたら、何故でしょうか？ 「する」が正解だとしたら、直径と円周の関係は変わってしまうのでしょうか？
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- veryyoung
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No.11にいただいたコメントを拝見し、当該資料６ページを見てみましたが、時計の時刻を合わせるくだりは、以下のように簡略化できそうな気がしました。参考まで。 「 B から発射した光が A に置かれた反射鏡によって往復する時間 T を測定する。A の反射時刻が tA ならば、B に戻った時刻は tB = tA + T / 2 と決定される。」 単にこう記述すれば、物差しや光速測定が不要になります。往路と復路の所要時間一致の仮定がエッセンスです。同期方法が光に限定されることもありません。なお、反射鏡に代わる A の現実的な姿は、呼びかけ信号に対し、同様な信号にタイムスタンプ tA を乗せ即座に返信する装置です。 ちなみに環状列車上では、次のように同期ジレンマが生じます。A と B を点対称の車両位置に置きましょう。信号は列車内を通じて二通りの向きで半周往復します。信号往復の合計所要時間は両者同じです。しかし、前方への往信に対し前方より返信されて来るタイムスタンプ、後方への往信に対し後方より返信されてくるタイムスタンプを比較すると、前者の時刻は後者より進んでいます（ A が往信を受け取る順を静止系から俯瞰すれば解ります）。 円周のローレンツ短縮については、静止系から俯瞰した各車両の長さの総合計で代用可能かと思われます。
お礼
有り難うございました。お礼が遅くなってしまい、申し訳ありません。
- veryyoung
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ANo.9の補足欄にいただいたご質問に関してです。 ＞光速度一定の筈なので、c-v、c+vを持ち出すのはおかしいような気がします。 c-v、c+v は静止系から見た光の波頭と列車の壁が接近する速さです。光速度一定なら、これで良いかと思います。 ＞この説明で外で電車を見ている人をA君と呼ぶことにすれば、A君は8/5秒後に電車の後ろの壁が光るのを見、8/3秒後に電車の前の壁が光るのを見ますから、・・・・・・ A君よりも光の速さで16 /30秒ぶん、即ち16万kmだけ右にB君がいたとすれば、B君は電車の後ろの壁と前の壁が光るのを同時に見ます。この時B君の立場では後ろの壁と前の壁が同時に光ったということが事実なのか、それともB君にはそう見えるのだが事実は後ろの壁の方が先に光った筈だとB君は「考える」のか、そのあたりの見かけと実体の区別がよくわからないのです。 相対論に限らず、その座標系でどのように記述されるかという意味でも「見える」という語が使用されると思います。相対論の導入部は、ローレンツ変換で各座標間の表記はどう変化するのか、その「見え方」に終始するのが普通で、そこに光学的視覚効果、たとえば「テレル回転」を含める事は稀かと思います。平均的教科書では、静止系で見れば、4/5秒後に電車の後ろの壁が光り、4/3秒後に電車の前の壁が光るように観測される旨の叙述になるでしょう。独立変数としてx, y, z, t を選ぶ事は、静止系のA君もB君も、そしてたまたま、壁が光るのを間近で目撃するかもしれないD君やE君も同じ時刻の腕時計をしているという事です。A,B,C,Dに共通の描写として俯瞰が存在します。視覚の遅延時間を含んだあなたの「見る」では観測者固有になり、他と共通という意味での俯瞰は確かに無理です。 視覚効果としての遅延時間は、単に位置の関数であって、「相対速度」に絡んだものではありません。B君の位置に応じて前後の壁の光る様子の認知時刻は変化するでしょうが、それは「電車が静止していても生じる」現象であって、いわゆる相対論的効果とは別のものです。 壁が光る瞬間は次のように実体化されるでしょう。先頭後尾、壁に到達する光でカメラ２台のシャッタを駆動します。それぞれに対し間近なプラットホームの時計が撮影されます。壁に光があたる瞬間のプラットホームの時刻を想像してください。後尾より先頭の写真の方がプラットホームの時計像は進んでいます。誰もが閲覧できるこの写真、動かぬ証拠という実体だと思いませんか。 ＞場所が違えば同時性が保証されないはずなのに、この図のように世界を俯瞰で見てしまってよいものか 同時性が場所に依存するのは、相対速度を持つ別の系から見た場合でしょう。また俯瞰の可否は、同時性とは、別の問題のような気がします。時刻傾斜をつけた図を描く事さえ可能なのですから、特殊相対論の範囲では支障は無いのではありませんか。俯瞰性が阻害されるのは、環状列車内部から見た列車全貌のように、非線形が大きな場合ではありませんか。経路依存になってしまっている時刻をどう俯瞰すれば良いのでしょう。丁度、変動磁場下で電位が定義できないような感じだと思います。静電場の電位は俯瞰可能ですが、電磁誘導は経路依存です。電気の経験がお有りのようですので、そのもどかしさは、お解りでしょう。
お礼
有難うございました。
補足
ありがとうございます。プラットホームの時計の写真は確かに仰る通りになるように思います。でもこのプラットホームの時計は光で合わせるわけには行きませんから、長い時間をかけてゆっくっりプラットホームに配って回らなくてはならないと思います。そういうことなら電車の中の時計だけ光を使って合わせるのは何だか不公平な気がします。何となく納得できずに悩んでいます。 cat2.edu.kagoshima-u.ac.jpの、c-v、c+vも、やっぱりおかしい気がします。c+vがcを超えてしまって良いのでしょうか。 電磁気の例えは、イメージが掴めたような気がしました。大変助かりました。お察しの通り、私の基盤は電気屋です。時差にrotのような成分があれば、時差が決まっても時刻が決められないということは十分あり得ると思いました。飛躍かもしれませんが、時差のrotの原因を作っているのが重力、ということになるのでしょうか。
- veryyoung
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ANo.8の補足欄にいただいたご質問に関してです。 ＞ 中央から前後に発せられた光は何処から見ても同じ速度で前後に進むという所まではわかるのですが、その結果静止系にとって「後尾、先頭の順」でパルスを受け取るなのは何故なのでしょうか？ 車両の移動が加わるからです。「同時の相対性」をキーワードに検索すれば多くの解説が見つかります。 http://b.high.hokudai.ac.jp/~konno/soutairon/r23/index.html http://www.geocities.co.jp/technopolis/2061/child_ph/sotai_tokusyu2/ http://cat2.edu.kagoshima-u.ac.jp/Text/public/Physics/relativity/special/thoughtExp/exp2.htm これだけでは、あっさりしすぎているので、同時性の観点から円周の短縮を論じてみましょう。一両の先頭と後尾の静止系から見た時刻差： L' ( 1/(c-v) - 1/(c+v) ) / 2 を環状列車一周の長さに延長すると近似的にΔT = T ( v^2 / c^2 ) になるかと思います（ここで T：列車が周回にかかる時間）。しかし静止系から見て「環状」列車のどこかにΔTの時刻ギャップが集中している訳ではありません。おもしろいのは車掌が懐中時計を携えて全車両を一巡して戻って来ると、列車の時計と懐中時計の食い違いとして、このΔTを観測できる事です（サニャック効果）。懐中時計は列車と同じ系で時を刻んでいますら、静止系から見て後尾に向かうと進み、先頭に向かうと遅れるのですが、環状列車一周後の終点は始点でもあり、そこに二つの異なる時刻が生じてしまいます。この時刻の食い違いは静止系から見ても、列車系から見ても共通に生じる事象、効果です。時刻は経路依存であり、実は列車系全体は同時刻ではなかったのです。進み過ぎた後尾、進み足りない先頭という感覚、ΔTの厚みに車体が拡がれる分、空間的に短くなると言う感覚も、静止系、列車系に共通になります。 急いで書いた割に冒険してみました。誤りが無いとよいですが。。。
お礼
有難うございました。
補足
ありがとうございます。リンク先を興味深く読ませて頂きました。3番目のcat2.edu.kagoshima-u.ac.jpは、c-v、c+vの意味が理解できませんでした。光速度一定の筈なので、c-v、c+vを持ち出すのはおかしいような気がします。 2番目のtechnopolisはわかり易く、又、ちょうど私が考えていたような内容でした。この説明で外で電車を見ている人をA君と呼ぶことにすれば、A君は8/5秒後に電車の後ろの壁が光るのを見、8/3秒後に電車の前の壁が光るのを見ますから、A君が後ろの壁が光るのを見てから前の壁が光るのを見るまでの時間は、16/15秒です。ということはA君と同じ慣性系の、A君よりも光の速さで16/30秒ぶん、即ち16万kmだけ右にB君がいたとすれば、B君は電車の後ろの壁と前の壁が光るのを同時に見ます。この時B君の立場では後ろの壁と前の壁が同時に光ったということが事実なのか、それともB君にはそう見えるのだが事実は後ろの壁の方が先に光った筈だとB君は「考える」のか、そのあたりの見かけと実体の区別がよくわからないのです。 1番目のb.high.hokudai.ac.jpの図も、やはりわかり易いのですが、場所が違えば同時性が保証されないはずなのに、この図のように世界を俯瞰で見てしまってよいものか、という所を疑問に思いました。電車の後ろの壁と前の壁が光る時刻の前後関係というのは、議論可能なことなのでしょうか。 車掌の懐中時計の話も大変興味深く読ませて頂きました。後ろの時計が前の時計よりも進んでいるということは、一周したらどうなってしまうのだろう、と、丁度疑問に思っていたところでした。
- veryyoung
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ANo.7の補足欄にいただいたご質問に関してです。 ＞ 中央から前後に発せられる光のパルスが、円環軌道を走っている列車のうちの一両の中央から発せられ、その車両の先頭と後尾の時計に[が]同期している時、円環の中心を通る軸上に静止して居る人から見ても、後尾、先頭の順でパルスを受け取ると考えるのでしょうか。 その通りです。まさに相対性理論構築の原点ではありませんか。列車系と静止系、両者に対して共通に光速不変とするには、そうならざるを得ません。ところで文面から多少の混乱が感じられます。「円環の中心を通る軸上に静止して居る人から見て」と書かれていますが、静止系ならどこに居てもかまいません。「見る」に誤解はありませんか。また文末「・・・と考えるのでしょうか」と書いておられますが、パルス到着の順番は条件設定や仮定では無く、実験事実、現実ですよ。とは言っても自身で直接的に測定検証した事は無いのですが。
お礼
有難うございました。
補足
ありがとうございます。おっしゃるように混乱しています。 No.6の説明にある基本的な部分で、普通の直線運動をする慣性系でも、列車の中央から前後に発せられる光のパルスの理解ができていないのだと思います。 中央から前後に発せられた光は何処から見ても同じ速度で前後に進むという所まではわかるのですが、その結果静止系にとって「後尾、先頭の順」でパルスを受け取るなのは何故なのでしょうか？ No.7文末、「と考えるのでしょうか」は、円環の中心を通る軸上に静止して居る人もそう考えるのか、その人が事実をそう見るのか、という意味で書きました。紛らわしくてすみません。
- veryyoung
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ANo.6の補足欄にいただいたご質問： ＞ 軌道の半径がrで回転椅子が角速度ωで回っていれば、止まっている列車は接線方向に速度rωで走っているように見えるのではないでしょうか？それは椅子が止まっていて列車の方が速度rωで走っているのと同じ見えなのではないでしょうか？ ・・・に関してです。 観測椅子が回っても、列車が周回していても相対位置関係は当然同じです。しかし物理現象は両者に対して等価ではありません。急加速するバスに立っていればヨロケるでしょうが、バスを座標の原点に据えたからといって、歩道にいる人が代わりにヨロケたりはしません。速度は物体間の「相対的」なものですが、加速度は単独で観測されます。回転の有無も遠心力によって単独的に観測されます。回転椅子が回るのと、列車が周回するのでは、物理効果は異なります。ご提示のローレンツ短縮は特殊相対性理論のものでしょう。使用できるのは、「等速直線運動」あるいは近似できる範囲に限定されます。私は題意の円周に近似的には適応可能だと思いますが、観測椅子を基準に宇宙を回転させる場合には適応できないのではありませんか。 観測椅子の回転と列車の周回が、交代できるなら、そもそも剛体盤のパラドクスは生じないではありませんか。「ローレンツ短縮」は光学的な見かけの物ではありませんよ。実体です。列車の長さが軌道と合わなくなるという事象は、乗員にとっても静止系の観測者にとっても共通です。「見える」のは実体です。脱輪の有無が観測者によって異なるような事があれば、世界が分岐してしまいます。
お礼
有難うございました。
補足
ありがとうございます。実体と見かけの違いがまだ理解できておりません。 度々申し訳ありませんが関連追加質問させてください。 No.6で教えて頂いた中央から前後に発せられる光のパルスが、円環軌道を走っている列車のうちの一両の中央から発せられ、その車両の先頭と後尾の時計に同期している時、円環の中心を通る軸上に静止して居る人から見ても、後尾、先頭の順でパルスを受け取ると考えるのでしょうか。その人には先頭の時計と後尾の時計は違って見えるのでしょうか？
- veryyoung
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ANo.5の補足欄にいただいたご質問： ＞ 円環の中心で回転椅子のような物に乗って列車と同じ角速度で回転しながら見た場合です。このとき列車は止まって見え、線路は回って見えるのではないでしょうか。線路や列車と同じ平面上にいると脱線したのかどうかが判別できないので、回転椅子が円環の中心で少し高さを持っていても良いです。 ・・・に関してです。 回転椅子で生じるのは網膜上の光学像の移動にすぎません。満月を回転椅子で観察しても楕円にはなりません。オリオン座では無く月を選んだのは、回転椅子の等価周速による幾何学的変形量（実際には生じない）と光学的確認までの遅延時間が適正だと思ったからです。ただし光学的観察は、ローレンツ短縮の議論には含まれていません。短縮は静止系のどこにいる者にも共通の幾何学的変形の実体であって、椅子から光学的に見えるかは問題ではありません。相対論を論じる場合の「見る」という単語の解釈に誤解はありませんか。 ローレンツ短縮は大雑把には次のようなものでしょう。列車の中央から前後に発せられる光のパルスに同期して、先頭と後尾に時計か置いてあります。光速普遍により静止系にとっては後尾、先頭の順でパルスを受け取ると考えられるので、列車基準での過去の先頭と未来の後尾が、静止系に同時存在する事になります。「見えている」というより「存在している」のです。前進が足りない先頭と前進し過ぎた後尾、そう考えれば短縮することが直観できると思います（定量的には不正確ですが）。時間の奥行きの中に列車が転回するので空間方向への写像成分が短くなるという雰囲気でしょう。変化の結果は見かけ上のものでなく、剛性を備えた実体です。光学的観察の効果は含まれません。 異なる観測者にとっての列車内のパルス到達状況の差異が考察の土台です。それは並進相対速度依存です。その場で回転するあなたと、すぐ傍に立つ静止観測者に、相対的周速から期待されるような差異は認められません。例えば非常に長い列車の先頭と後尾からパルスの到着に同期してそれぞれビーコンが出ているとしましょう。円環軌道の中央には受信用の垂直ロッドアンテナがあります。エレメントを握って捻ってもビーコンの前後が入れ替わるような事は有り得ません。 観測者のその場回転では事態は変わりません。では、観測者の任意の動きに対してどうでしょう。ローレンツ短縮量は様々でしょう。しかし車輪とレールが接触しているなら、短縮量が変化しても零が維持されますから、脱輪の有無が観測者に依存する事はありません。 http://okwave.jp/qa/q6998756.html の類似性の件、了解です。導体中の正負電荷、それぞれとの相対速度の僅かな差が電荷密度の違いとして観測されるという話ですね。次のようなパラドクスとして導入され、紹介される事が多いかと思います。電流を通じた直線導体脇に平行に速度vで電荷を放つ。F = q( E + v × B ) によって電荷は径方向に弧を描く。ただし帯電は無く、E = 0。 さて電荷に並走する系で記述すると、v=0で B の効果が失われてしまう。電荷の運動の原因はどう説明されるか・・・。導入部はそんな雰囲気だと思います。
お礼
有難うございました。
補足
有難うございます。回答を読ませて頂いて悩んでいます。軌道の半径がrで回転椅子が角速度ωで回っていれば、止まっている列車は接線方向に速度rωで走っているように見えるのではないでしょうか？それは椅子が止まっていて列車の方が速度rωで走っているのと同じ見えなのではないでしょうか？列車内のパルスの説明など、未だ良く理解できていない所も多いので、自分でももう少し考えてみます。
- veryyoung
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ANo.4の補足欄の内容に関してです。 > 見る人がもし円環軌道の中心で剛体環状列車と同じ向きに同じ角速度で回転しながら列車とレールを見たとしたら、列車は伸びて軌道が縮み、脱線してしまうように見えないでしょうか？ 円環軌道の「中心」でしょうか。視線を動かしても何も光景は、変わらないと思いますが。円軌道の「上」が真意ではありませんか。 「軌道が縮み」と書かれているので、おそらくご興味は、移動体と共に並走する観測者、つまり乗員から見て全体がどう記述されるかにあると、推察いたします。 確かに乗員の列車より軌道は短縮していますが、点対称の位置の列車はどう見えるか想像してください。それを補うように大きく短縮し、一周全長では列車の方が短くなります。 少し乱暴ですが、円軌道は面倒なので、ブルドーザの無限軌道のような形に押しつぶして、辻褄が合うか勘定してみましょう。軌道の直線部分は、さながら複線の様相で、乗員には、すれ違い列車が見えます。乗員がいる方を上りと名づけましょう。上り軌道全長は、√(1- v^2 /c^2 ) 倍になりますが、1 - ( v^2 /c^2 ) / 2 と近似し、1 - ε と書きましょう。乗員にとって上り軌道も下り軌道もεだけ短縮します。そして下り列車の相対速度は 2v ですから、二乗で定まる短縮は、4εになります。上り列車と下り列車の合計長さ、上り軌道下り軌道の合計長さを比較してみましょう。 上下列車長／上下軌道長 = ( 1 - 0 + 1 - 4ε) / ( 1 - ε + 1 - ε) ≒ 1 - ε という風に、静止系からみた結果への一致が得られます。
お礼
ありがとうございました。
補足
有難うございます。言葉足らずですみません。No4の補足は円環の中心で回転椅子のような物に乗って列車と同じ角速度で回転しながら見た場合です。このとき列車は止まって見え、線路は回って見えるのではないでしょうか。線路や列車と同じ平面上にいると脱線したのかどうかが判別できないので、回転椅子が円環の中心で少し高さを持っていても良いです。 今回頂いた回答の後半は、以前、リンク先のNo.15で同じようなを質問をして長さの合計が変化しないことを計算したことがあります。 http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6998756.html
- veryyoung
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円周はローレンツ短縮するでしょう。したがって静止している剛体盤は回転できませんし、すでに回転しているなら速度を変えられません。一方、回転速度の変化を認めれば剛体が否定されます。・・・ そんなふうかと思いますが、いかがでしょう。 エーレンフェストのパラドクス： http://en.wikipedia.org/wiki/Ehrenfest_paradox No.1の補足欄に書かれた「円環状の移動体が円環状の軌道の上を高速で回っているとした場合」について、移動体が剛体で、かつ連結されているなら、例えば静止から動き出したら脱線です。あるいは動けないかの選択です。連結されていなければ隙間が生じます。ある一定速度用に移動体の長さを調整すれば連結状態で安定して周回できますが、長さの調整を怠って速度を変えると大惨事です。なお、視点によってズレが生じる旨の考察をされていますが、軌道(レール)と移動体(車輪)の接触点は同一の時空を共有していて、この「接触」は、どの観測者にとっても共通です。観測者が異なっても、接触／脱輪のような異なる様相が観測される事があってはなりません。 周速度に関し、ローレンツ短縮だけで議論は良いのか、ひょっとすると遠心力（重力）の効果を組み入れれば、短縮分は修復される可能性が・・・とお考えかもしれません。しかし、周の短縮は (v/c)^2 依存であり、これに対し、遠心力は v^2 / R の形です。円環を大きくすれば重力効果の比率は任意に軽減できます。つまり一般相対論を導入してもパラドクスは解消されないように思えます。また、車体材料として、その音速すなわち、√(ヤング率/密度) が光速に一致するものを選択すると、遠心力起源の円環張力による伸びとローレンツ短縮が丁度バランスするようですが、これも時空の歪みとは別の現象だと思います。 剛体概念は、並進運動に関して支障を及ぼしませんが、回転運動とは相容れないということではありませんか。不可解な点があればご指摘ください。
お礼
ありがとうございました。
補足
有難うございます。 ちょっとわかったような気がしてきましたが、よく考えてみたらひとつ疑問が残りました。 剛体環状列車が速度に合わせて長さを調整されて円環軌道上を回っているとします。 この時見る人がもし円環軌道の中心で剛体環状列車と同じ向きに同じ角速度で回転しながら列車とレールを見たとしたら、 列車は伸びて軌道が縮み、脱線してしまうように見えないでしょうか？
- 中村 拓男（@tknakamuri）
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No.1 補足にかんする回答ですが 円輪の半径は静止系でも回転系でも同じです。 但し、円輪を無回転から徐々に加速してゆくと 半径は小さくなってゆきます。これは歪んだ空間では 円周に必要な長さが、2πr より「大きく」なるからです。 この両者は矛盾ではないことに注意してください。
補足
有難うございます。シンプルですがとても難解で苦労しています。 No.3回答前半は、視点が変わっても円輪の半径は変わらないという意味で宜しいでしょうか？ No.1の回答と合わせると、半径は変わらないが円周は縮むということになりますか？ それともNo.3回答前半はあくまで視点が回転している場合の説明で、No.1の回答は円輪が回転する場合になるので後半の場合の方に当たるのでしょうか？ No.3回答後半は、視点が変わった場合の話ではなくて、移動体が止まっている状態から高速回転の状態に変化した時、その前後での変化についておっしゃっているという理解で宜しいでしょうか？ここで円周に必要な長さというのは、移動体から見た長さなのでしょうか、それとも静止系から見た長さなのでしょうか。それは例えばNo.1の補足で挙げさせていただいた「軌道」に当たるものなのでしょうか？軌道から外れないように半径の方が調整されるというような考え方なのでしょうか？
高速回転で物体が変形してしまうのなら、３万回転仕様のＮＣ旋盤で加工すら出来ません。 そもそも次世代エネルギー炉が回転するなんて初耳です。
お礼
御回答有難うございます。質問の意図は現物としての円板についてではなくて、周速が相対論的な速度になる場合の思考実験に関するものでした。質問の仕方が紛らわしくて申し訳ありませんでした。
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お礼
有り難うございました。最初のリンクの千葉大学の説明は、とてもよくわかりました。よく分っている方から見れば同じ事なのかもしれませんが、ちょっとした事ですぐに躓いてしまいます。7ページにあるようにl－V tA = c tAの変形と考えることで納得しました。慣性系の中での同時(俯瞰)についてもこの資料6ページの鏡を使う方法で納得しました。沢山リンクを挙げて頂いたお陰で自分にとってわかり易い説明を見つけることができました。少し理解が進んだ気がします。表題のオリジナルの質問についてはまだちょっと私には難しいのでもう少しわかるようになってからもう一度考えてみようと思います。長い間有難うございました。