回転する円盤上の点からみた外の固定点の速度

質問

不可解なタイトルですみません。

このことが疑問で解決できずにおり悩んでおります。
添付の図をご覧ください。シチュエーションはとてもシンプルでして、回転している円盤があり、円盤上の色々な点（A-D、円周に近い側、中腹、中心付近）に人が立っており、円盤の外の点P（固定点）を眺めているとします。この場合、それぞれの人が感じる速度に違いはあるでしょうか。

私の考えが間違っていなければ、計算では、どの人が感じるPの速度（PのA、B、CまたはDに対する相対速度）に変わりはないと思われます。
XY座標を円盤に張り付けたとして、
Vp/a = Vp – Va
Vp/b = Vp – Vb
Vp/c = Vp – Vc
Vp/d = Vp – Vd
A – D はすべて円盤に張り付けたXY座標上で固定点なので、Va = Vb = Vc = Vd = 0　（これらはすべて絶対速度はなく円盤に張り付けたXY座標上の速度）となり、Vp/a = Vp/b = Vp/c = Vp/d はすべて同じになります。要するに、これらの相対速度は、Pの座標系（円盤）に対する速度と理解しています（間違っておりましたら、ぜひご指摘ください）。

ということで、どの相対速度も同じ、つまりどの点からみてもPの速度は変わらない、という結果になるのですが。
感覚として理解できずにおります。といいますのも、A点は円周に近いため（Aから円盤の中心までの距離が長いため）、
その絶対速度はBやCに比べて速いはずです。ならば、外の固定点PをAが見た場合、BやCから見るよりも速く見えそうなものですが、
どうでしょうか。

ただ確かに、メリーゴーランドの中心付近にいる人と、円周付近にいる人とが、外に固定して立っている人をみた場合、感じる速度に違いは
なさそうです。

このように、いったいどれが正しく、間違っているならばどうして間違っているのか、がわからず、とても悩んでおります。
もしかしたら、とても単純、もしくは基本的な問題かも知れない危惧しておりますが、真剣に悩んでおりまして、
どうかご教示頂きたく、よろしくお願いします。

回答No.3

hitokotonusi · ベストアンサー

A点からどの座標系で見るかによって答が変わるのですが、「人が感じる速度」ということからすると

「円板とともに回転する座標系でA点からP点を見ると」

という題意だろうと思います。この場合は座標系の回転を伴っているので少し説明が面倒です。

添付図のように円板が回転してAがA'に移ったとします。
これを青の矢印AA'であらわします。
教えてgooのお絵かきでは円が書けないので直線になっていますが、
円弧だと思ってください。

この間P点は止まったままなのですが、円板とともに回転している人にとっては半径方向が基準の方向となりますので、鉛板上の人からみると物体PはP'からPに移動したようにみえます。
これを赤の矢印P'Pであらわします。これも上と同じ理由で本来は円弧です。

AとA'を半径方向にともに動かすと青の矢印の長さは変わりますが、赤の矢印の長さは変わりません。この赤の矢印がA点のひとからみた位置ベクトルの変化分なので、これを時間で割れば速度ベクトルになります。したがって、A点がどこに移動してもP点の速度は変わりません。

微小時間ならばA点の移動もA点からみたP点の移動も直線で近似できるようにみえます。なのでこれを微小時間の間の平行移動でと近似できると考えると、A点からみたP点はQ点からP点に移動します。

回転しない平行移動するだけの座標系でA点から見た場合のP点の速度は、
このQPを時間で割ったものです。

しかし回転する座標系では、もう一つ考えることがあります。それは基準方向の回転です。A点の人にとっては最初はr方向が基準の方向でしたが、A'点に移ってからは基準の方向がr'方向にかわっています。この基準方向の回転の効果が赤の矢印のうちのP'とQの間の部分です。

したがって、回転座標系でA点から見たP点の速度を考える場合には、平行移動による分QPと座標系の回転による分P'Qをあわせて考える必要があります。
上で考えたようにA点とA'点が半径方向に移動するとP'QとQPはそれぞれ長さが変わりますが、それを加えた効果は変わりません。

お礼

hitokotonusi様、いつも回答下さりありがとう御座います。とても勉強になりました。

回答No.6

okitarou123

おそらく、見えることと実際の速度との違いを混乱しているからだと思います。

電車から景色を見たとき、電柱は近いほど速く通り過ぎます。
遠くの煙突から流れる煙はとてもゆっくり流れます。

ですが、本当の速度は遠かろうと近かろうと同じです。
その辺の勘違いではないかと思います。

なお、
真の速度は変位÷時間ですが、見た目に感じられる速度は
角速度です。
従って、真の速度との関係は距離×角速度です。

お礼

なるほど、っと思いました。ありがとう御座います。思わぬ点に気付いた気持ちです。

回答No.5

Quarks

ANo.２です。

>「速度Ｖは、ＰとＣの距離をＲとすると　Ｖ＝Ｒ・ω」
>の点で、C点の位置情報を含んでいると感じます。

Ｃ点は"円運動の回転中心"と考えて下さい。この点は特別な１点です。以下ではＯ点と書くことにしましょう。観測者Ｃはたまたまその特別な位置に居ただけに過ぎません。

>円盤を固定した場合、なぜ円盤からみるP点の速度が中心からの距離であらわされ、
>Aからの距離、Bからの距離ではないのか

空間内の或る１点だけが重要で、それは「回転中心(Ｏ点)」です。
円盤上のＯ点に居て外界を眺めてみましょう。"外界"が回転して見えることになります。
その回転中心は？　もちろんＯ点ですよね。
その速度Ｖは？　Ｖ＝Ｒ・ω　ですよね。
(Ｒは、ＯＰ間距離，ωは角速度です)
さて、Ｏ点に居るＣから見て、円盤内のＡ，Ｂ，Ｄはどのように見えますか？　もちろん"静止"して見えるはずです。
では、ＡからＰをみたらどうでしょう？　その速度をｗとしてみましょう。
　ＡはＣに対して速度０(ゼロ)で運動しており、ＰはＡに対してｗで運動しています。
では、Ｃから見たＰの速度は？　０＋ｗ　ですよね。そしてそれはＶに等しいはず。
　０＋ｗ＝Ｖ
∴　ｗ＝Ｖ
ＡをＢ，Ｄに置き換えても同じ結果になるはずです。

次のように考えてみたらどうでしょう。
Ｐ点がＡ点(円盤の円周上の点とします)の直ぐ外側の点だったとしたら…
円盤上のＡに居てＯ点の方を向いている観測者から見ると、円盤が１回転する間に、Ｐ点は１回転したように見えるはずです。
初め自分の直下に在った点が、曲線を描くように、徐々に離れて行き、やがてＯ点の向こう側(Ａから２Ｒ離れた地点)を通過して、再び自分の下に復ってくる。そんな回転運動をしているように見えるはずです。その回転中心はＯ点で、回転の直径は２Ｒですよね。
その速度は？　Ｒ・ω　ですよね。
これをＯ点から見てもやはり　速度　Ｒ・ω　で、Ｏ点を回転中心とする円運動をしています。
これを今度はＢ点に居てＯ点の方を向いている観測者がみたらどうでしょう。ＯＢ＝ｒとしておきましょう。
Ａ点の位置から動き始めたＰ点は、最初Ｂから見て、後ろにＲ－ｒ離れた地点から動き始めます。その後Ｏ点の向こう側Ｒ＋ｒ離れた地点を通過して、再びＢの後ろＲ－ｒ離れた地点に戻ってきます。
その回転直径は
　(Ｒ－ｒ)＋(Ｒ＋ｒ)＝２Ｒ
ですから、やはり、半径Ｒの円運動（速度Ｒ・ω）をしているように見えたはずです。回転中心は、やはりＯ点ですよね。このように、Ｏ，Ａ，Ｂのどの位置に居た観測者も、同じ速度を観測することがわかるでしょう。

円周上が特異な点に思えるなら、もっと一般的な点を上げても良いでしょう。
今、Ｂ点と同じ位置に在って、空中に浮いている点Ｑ点などを観察してみるのです。このＱもまた、円盤が１回転する間に、半径ｒ（＝ＯＢ距離）の円周上を１周して見えるはず。
その速度は？　ｒ・ω　ですよね。
円盤上のどの観測者から見ても、Ｑはこの速度で動いているように見えるはずです。

如何でしたでしょうか？
>なぜ円盤からみるP点の速度が中心からの距離であらわされ、
>Aからの距離、Bからの距離ではないのか
上述のように、ちゃんと、「Ａからの距離」、「Ｂからの距離」を考慮した結果になっていると思いますが。

回答No.4

hitokotonusi

数式で書いてしまった方が簡単になるかも知れないので、補足しておきます。

回転座標系でのベクトルの時間微分を求める有名な公式があります。
座標系回転の角速度ベクトルをω、あるベクトルをAとすると、
回転座標系でのAの時間微分d'A/dtは

d'A/dt = dA/dt + A×ω

導出はここでは省略します。ここを見てください。
http://gijyutsu-keisan.com/science/physics/fiction_f/fiction_f_2.html
(ここでは位置ベクトルで扱っていますが、任意のベクトルで成立します)

ベクトルAとして位置ベクトルrをとるとd'r/dtは回転座標系での速度v'、dr/dtは静止座標系での速度vになるので

v' = v + r×ω

これがA点とP点のそれぞれについて成り立つので

vP' = vP + rP×ω
vA' = vA + rA×ω

回転座標系で見た時のA点に対するP点の相対速度は

vAP' = vP'-vA' = (vP-vA) + (rP-rA)×ω

P点は静止しているのでvP=0。またA点とともに回転する座標系から見ているので回転する座標系ではA点が静止して見えることからvA'=0より

vA = -rA×ω

したがって

vAP' = -vA + (rP-rA)×ω = rA×ω+ (rP-rA)×ω = rP×ω

でrAには依存しなくなります。この途中式の-vAがANo.3のQPから出てくる速度、(rP-rA)×ωがP'Qから出てくる速度です。

お礼

重ねまして回答下さりありがとう御座います。物理は数式からでも言葉でも説明することができるのが面白いですね。

回答No.2

Quarks

添付図を見ていただければ、一目瞭然でしょう。
　円盤から見る＝＝＞円盤を固定して見る
ということですから、添付図では、円盤を固定してみました。この観点からは、円盤外の固定されているすべての点は、円盤の中心を中心とする円周上を角速度ωで回転しているように見えるはずです（添付図では、Ｐ→Ｐ' に回転して見えます）。
その速度Ｖは、ＰとＣの距離をＲとすると
　Ｖ＝Ｒ・ω
で、これは円盤と一緒に回転している任意の観測者の位置情報を一切持っておりません。
言い換えれば、円盤上に固定されている任意の観測者にとっても、Ｐ点は同じ速度を持つように見える、ということです。

お礼

Quarks様、回答ありがとう御座います。
おっしゃっておられること、理解しているつもりなのですが、

「速度Ｖは、ＰとＣの距離をＲとすると　Ｖ＝Ｒ・ω」
の点で、C点の位置情報を含んでいると感じます。

#1の回答者様のおっしゃっていることも、もっともに感じますし、Quarks様のおっしゃっていることもそうに違いないと感じます。

円盤を固定した場合、なぜ円盤からみるP点の速度が中心からの距離であらわされ、Aからの距離、Bからの距離ではないのか、この点についてご教示頂けますととても助かります。

決して揚げ足をとっているわけではなく、純粋にどうしてだろうと悩んでおります。実際、Quarks様と#1回答者様の見解は異なっており、何かさらに適切な理解の方法があるのではないかと思っております。また基本的なことだということも分かっているのですが、基本的なことだけにしっかりととらえておきたく、どうかよろしくお願いします。

回答No.1

spring135

自分が動いているときの静止点の速度は-Vです。Vは自分の速度ベクトルです。

円盤上の点Pの速度は時々刻々変わります。それを式で表すことも可能ですが今は中心、P、静止点が一直線上に並んだ時の速度（横方向）を問題にしていると思いますのでそれをVとすると

　　V=rω

です。rは円盤の中心からの距離、ωは回転速度（１秒間の回転数）です。

従ってP上にいる人のとって静止点は-Vの速さで動きます。

　　　　-V=-rω

でｒが大きいほど早く動きます。

つまり円盤のヘリに近いほど早いわけです。

お礼

spring135様、回答下さりありがとう御座います。
ご説明を聞きまして、「そうか・・・『つまり円盤のヘリに近いほど早い』それはそうだなー、なんでそう思わなかったのだろう」と思ったのですが、#2回答者様の回答を拝読して、再び悩みました。　いかがでしょうか、さらにアドバイス頂けるととても幸いです。よろしくお願いします。