マクローリン展開

質問

ｆ（ｘ）＝ｔａｎｘのマクローリン展開の4次までの項を求めよ。

回答No.2

hugen

f(-x)=-f(x)
0=f(0)=f''(0)=f''''(0)
f'(x)=1+(tanx)^2

回答No.1

WiredLogic

tanx の微分を何度もやるときは、
(tanx)' = 1/(cosx)^2 を使うよりも、
公式・1/(cosx)^2 = (tanx)^2 + 1 を利用して、
(tanx)' = (tanx)^2 + 1 で考えた方が、
分数形の微分をしなくてすむ分、楽になります。

マクローリン展開は、
f(x) = f(0)*1 + f'(0)*x/1! + f"(0)*x^2/2! + f'"(0)*x^3/3! + f""(0)*x^4/4! + …
のようにやりますから、

f(x) = tanx, f(0) = 0,
f'(x) = (tanx)^2 + 1, f'(0) = 1,
f"(x) = 2tanx{(tanx)^2 + 1}, f"(0) = 0,
f'"(x) = [2(tanx)^3 + 2tanx}'
= 6(tanx)^2*{(tanx)^2+1} + 2{(tanx)^2+1}, f'"(0) = 2,
f""(x) = {6(tanx)^4 + 8(tanx)^2 + 2}'
= 24(tanx)^3*{(tanx)^2+1} + 16tanx{(tanx)^2+1}, f""(0) = 0 なので、

tanx = 1*x/1! + 2*x^3/3! + … = x + x^3/3 + … となります。

補足

マクローリン展開は、
f(x) = f(0)*1 + f'(0)*x/1! + f"(0)*x^2/2! + f'"(0)*x^3/3! + f""(0)*x^4/4! + …
を覚えなければならないのですかね。