ベクトルポテンシャルの差が磁束になる訳

質問

こんにちは。
早速ですが電磁気のベクトルポテンシャルについて質問です。

ある2つの点について、それぞれのベクトルポテンシャル(の値)が分かっていれば、
それらベクトルポテンシャルの差が磁束φ(ファイ)になるということを教えてもらったのですが、
数式的にもイメージ的にもさっぱり分かりません。

私自身がよくわかっていないため、かなり抽象的な質問で申し訳ないのですが、
どなたか分かりやすく教えていただけないでしょうか、よろしくお願いします。

回答No.3

FT56F001 · ベストアンサー

二次元問題の場合，
1) ベクトルポテンシャルの差が磁束線の本数になる
2) ベクトルポテンシャルの等高線が磁束線を与える
という性質が成り立ちます。

磁束がxy平面内を流れる時，ベクトルポテンシャルはz成分(Az)だけを持ちます。
このとき，rotA=Bを成分表示すると，
(rot A)x=∂Az/∂y=Bx
(rot A)y=-∂Az/∂x=By
であるため，磁束線に沿ってベクトルポテンシャルのz成分Azは一定値をとります。

また，ストークスの定理
∫C A ds=∫∫ rot A dS
(左辺は経路C上の線積分，右辺は面C上の面積分)
をΔx→Δz→-Δx→-Δzの四辺形に適用することで，
この中を通る磁束のz方向長さあたりの量[Wb/m]と，
ベクトルポテンシャルのz成分の差
が等しくなることを確認することが出来ます。

以上のような意味で，
「ある2つの点について、それぞれのベクトルポテンシャル(の値)が分かっていれば、
それらベクトルポテンシャルの差が磁束φ(ファイ)になる」
ということは正しいです。

[#1さんの疑問に対して]
http://www.phys.u-ryukyu.ac.jp/~maeno/cgi-bin/pukiwiki/index.php?%A5%D9%A5%AF%A5%C8%A5%EB%A5%DD%A5%C6%A5%F3%A5%B7%A5%E3%A5%EB%A4%C8%A4%CF%B2%BF%A4%BE%A4%E4%A1%A9

>　の上から３つ目の図の右側にある図
>（電流の周りのベクトルポテンシャルと磁場の矢印が 書きこまれている図）
水色のベクトルと紫色のベクトルの間に，電流を一周する磁束ができていて，
その磁束線の本数は，ベクトルの長さの差になります。

回答No.4

el156

No.2です。
No.3の方の回答を読ませて頂いて、「２点間」に意味があることがわかりました。
ベクトルポテンシャルと磁束は直交すると思いますが、その双方に直交する線上の微小に離れた2点間のベクトルポテンシャルの大きさの勾配が、その点の磁束の大きさになるわけですね。No.2で回答させて頂いた微小水車で言うなら、ある点で微小水車が最も速く回転するような水車の軸の向きと、その場所の水流の向きとは直交し、その双方に直交する微小距離の流速の差がその点の水車の回転数に比例するということになります。私も勉強になりました。

回答No.2

el156

「ある2つの点」というところに何かの勘違いがあるのではないでしょうか。
ベクトルポテンシャルを水流に、そのrotを微小水没水車の軸に例える話をご存知ですか？普通の水車は一部分だけを水の流れに浸けますが、水没させると一様な流れの中ではどの向きに水車を置いても回りません。でも流れに強弱の偏りがあると、適当な向きに微小水車を置けば流れの強さの違いによって水車が回ります。水の流れの分布をベクトルポテンシャルだとすれば、水車の軸の向きが磁束の向き、水車の回転速度が磁束密度の大きさということになります。周囲のベクトルポテンシャルの不均一が磁束になる、という意味だったのではないかと思います。No.1の方のリンク先はとても分かり易くて勉強になりました。水車の話も出てきます。読んでみると良いかと思います。

回答No.1

supertat

> ある2つの点について、それぞれのベクトルポテンシャル(の値)が分かっていれば、
> それらベクトルポテンシャルの差が磁束φ(ファイ)になるということを教えてもらったのですが、

例えば

http://www.phys.u-ryukyu.ac.jp/~maeno/cgi-bin/pukiwiki/index.php?%A5%D9%A5%AF%A5%C8%A5%EB%A5%DD%A5%C6%A5%F3%A5%B7%A5%E3%A5%EB%A4%C8%A4%CF%B2%BF%A4%BE%A4%E4%A1%A9

の上から３つ目の図の右側にある図（電流の周りのベクトルポテンシャルと磁場の矢印が
書きこまれている図）でいうと、
同じ色ですぐ隣にあるベクトルポテンシャルは、ベクトルポテンシャルの差はゼロですが、
それらを結ぶ方向に磁場（つまり磁束）が発生しています。
つまり「ベクトルポテンシャルの差が磁束φ(ファイ)になる」が成り立たないように
感じます。

この図でいうとどういうことなのか、教えてもらった方に聞いてみてはいかがでしょうか。