Ｌｏｒｅｎｔｚ力をベクトルポテンシャルで書きたいのだが。。。

質問

式の変形の質問です。
あるテキストに電磁場Ｅ、Ｂの中での荷電粒子の運動方程式はLorentz力を受けて ｍ(ｄｖ/ｄｔ)＝ｑ(Ｅ＋ｖ×Ｂ)となります。ここで電磁場を電磁ポテンシャルＡで表すと
Ｅ＋ｖ×Ｂ＝－∇Φ－(∂Ａ/∂t)＋ｖ×(∇×Ａ) (1)
＝－∇Φ－(ｄＡ/ｄt)＋∇ｖ・Ａ (2)
ここで(ｄＡ/ｄｔ)＝(∂Ａ/∂t)＋ｖ・∇Ａを使った。
となっていました。
さて、ここから質問なのですが(1)→(2)のベクトル演算の変形（ｖ×(∇×Ａ)＝∇ｖ・Ａ－v・∇Ａ）がどうしても出てこない。どなたかひとつよろしくお願いします。

回答No.2

oshiete_goo · ベストアンサー

問題になっている　Ｖ×(∇×Ａ)＝∇Ｖ・Ａ－Ｖ・∇Ａ ですが，強調して書けば
Ｖ×(∇×Ａ)＝∇(Ｖ・Ａ)－(Ｖ・∇)Ａ・・・（＊）
の意味であって，お書きの式も
ｄＡ/ｄｔ＝∂Ａ/∂t　＋(ｖ・∇)Ａ
のことですね．

すると，単位ベクトルe＝(ex,ey,ez)として
∇×Ａ＝ex(∂yＡz－∂zＡy)＋ey(∂zＡx－∂xＡz)＋ez(∂xＡy－∂yＡx)
また，速度Ｖは(空間微分をするときに)定数として扱える・・・（＊＊）
という前提より

[Ｖ×(∇×Ａ)]x
＝Ｖy(∇×Ａ)z－Ｖz(∇×Ａ)y
＝Ｖy(∂xＡy－∂yＡx)－Ｖz(∂zＡx－∂xＡz)
＝(Ｖy∂xＡy＋Ｖz∂xＡz)－(Ｖy∂yＡx＋Ｖz∂zＡx)
＝(Ｖx∂xＡx＋Ｖy∂xＡy＋Ｖz∂xＡz)－(Ｖx∂xＡx＋Ｖy∂yＡx＋Ｖz∂zＡx)
＝∂x(ＶxＡx＋ＶyＡy＋ＶzＡz)－(Ｖx∂x＋Ｖy∂y＋Ｖz∂z)Ａx　（∵前提（＊＊））
＝∂x(Ｖ・Ａ)－(Ｖ・∇)Ａx

他の成分も同様で，結局（＊）が示された．

なお，一般には
∇(Ａ・Ｂ)＝(Ａ・∇)Ｂ＋(Ｂ・∇)Ａ＋Ｂ×(∇×Ａ)＋Ａ×(∇×Ｂ)
を使うようで，
∇(Ｖ・Ａ)＝(Ｖ・∇)Ａ＋(Ａ・∇)Ｖ＋Ａ×(∇×Ｖ)＋Ｖ×(∇×Ａ)
　　　　　＝(Ｖ・∇)Ａ＋０＋０＋Ｖ×(∇×Ａ)　　（∵前提（＊＊））
から
Ｖ×(∇×Ａ)＝∇(Ｖ・Ａ)－(Ｖ・∇)Ａ
とでもするのでしょう．

お礼

大変良くわかりました。ありがとうございました。これでスッキリしました。

回答No.1

oshiete_goo

ベクトルの公式で
３ベクトルA,B,Cについて
A×(B×C)＝B(A・C)－C(A・B)・・・（１）
というものがありますが，この形のようですね．
ただし，∇は微分演算子だからか
A×(B×C)＝B(A・C)－(A・B)C
と見た方がよさそうですが．

公式（１）の証明は両辺のｘ成分のみそれぞれ計算すれば
たとえば[A×(B×C)]_x＝Ay(B×C)z－Az(B×C)y ＝・・・＝Bx(A・C)－Cx(A・B)
などより(他も対称性より)示せて，ご質問の変形
ｖ×(∇×Ａ)＝∇ｖ・Ａ－v・∇Ａ
は同様にやるか，それとも信じるかではないでしょうか．

公式（１）の深遠な意味はご存知の方に解説をお願いいたします．

補足

早速のご解答ありがとうございました。ただ、ベクトル３重積公式ではご指摘の通り微分演算子∇の取り扱いが？？のようです。いろいろ公式を調べるた結果 A×(∇×B)＝A(∇・B)－(A・∇)B＋(A×∇)×B というのがあって、求める形に近いのですが、地道にコツコツやっていてもでてこない(^^);;