フーリエ係数の計算

質問

「Ｅｘｃｅｌで学ぶ理論と技術　フーリエ変換入門」の記載事項に関する質問です。

δΔｔ（ｔ）＝Σδ（ｔ－ｋΔｔ）　（ｋ＝－∞　～　∞）　と定義したとき

この関数をフーリエ級数展開は，偶関数のため　ｂｎ＝０
ａｎ＝（２／Ｔ）∫ｇ（ｔ）ｃｏｓ（２πｎｔ／Ｔ）ｄｔ　（積分範囲　０～Ｔ）

サンプリング周波数　ｆｓ＝１／Δｔとすると
ａｎ＝（２／Δｔ）∫δΔｔ（ｔ）ｃｏｓ（２πｎ・ｆｓ・ｔ）ｄｔ　以下の積分範囲は（－Δｔ／２～Δｔ／２）
　　＝（２／Δｔ）∫[Σδ（ｔ－ｋΔｔ）　（ｋ＝－∞　～　∞）]ｃｏｓ（２πｎ・ｆｓ・ｔ）ｄｔ
　　＝（２／Δｔ）∫δ（ｔ）ｃｏｓ（２πｎ・ｆｓ・ｔ）ｄｔ
　　＝（２／Δｔ）

質問はここからです。
１　ａｎの積分範囲が　０～Ｔ　が　－Δｔ／２～Δｔ／２　に変わってしまっているのはなぜでしょう。
２　∫δ（ｔ）ｃｏｓ（２πｎ・ｆｓ・ｔ）ｄｔ＝１になる理由（どうやって積分しているのかという計算の過程）が分かりません。

　御回答をいただける方はいらっしゃるでしょうか。

回答No.1

noname#154783 · ベストアンサー

> １　ａｎの積分範囲が　０～Ｔ　が　－Δｔ／２～Δｔ／２　に変わってしまっているのはなぜでしょう。

「変わってしまっている」というよりも，

> ａｎ＝（２／Ｔ）∫ｇ（ｔ）ｃｏｓ（２πｎｔ／Ｔ）ｄｔ　（積分範囲　０～Ｔ）

は周期Tをもつ周期関数についての一般論であって，
関数 δΔt(t) の場合はその周期がΔtであるので，
上の一般論の式において
T = Δt,
g(t) = δΔt(t)
とすると，

a[n] = (2/Δt) ∫[0,Δt] δΔt(t) cos(2πn・fs・t) dt

となるわけですが，周期 Δt をもつ関数を[0,Δt]上で積分しようが，少しずらして[-Δt/2,Δt/2]上で積分しようが同じ値になるので，積分区間をずらして

a[n] = (2/Δt) ∫[-Δt/2,Δt/2] δΔt(t) cos(2πn・fs・t) dt

にしただけです．

> ２　∫δ（ｔ）ｃｏｓ（２πｎ・ｆｓ・ｔ）ｄｔ＝１になる理由（どうやって積分しているのかという計算の過程）が分かりません。

計算というか，一般にδ関数について

∫[0を含む区間] δ(t) f(t) dt = f(0)

が成り立ちます．

# 質問1において積分区間をずらしたのは，積分区間内に確実に0を収めてしまうため．

つまりδ関数はt = 0の値のみを抜き出す作用を持つ超関数なのです．
ですので，

∫[-Δt/2,Δt/2] δ(t) cos(2πn・fs・t) dt
= cos(2πn・fs・0)
= 1.

お礼

早速，丁寧な回答をいただきましてありがとうございました。
積分区間に関しては，御指摘の通り周期２πのsin関数があった場合，
∫[－π，π]sinθｄθ＝[（－cos（π））－（－cos（－π））]＝０
∫[０，２π]sinθｄθ＝[（－cos（π））－（－cos（０））]＝０
※グラフを描けば一発で分かりますね。

δ関数に関しては，ｔ＝０の値を抜き出す超関数という言葉がありましたが，全く意味が分かっていませんでした。御指摘いただいたおかげで式の概念が理解できました。

　大変助かりました。ありがとうございました。