数学の問題かもしれませんが？

質問

高調波の問題を解析する場合、フーリエ級数は避けて通れませんよね？
歪波が、奇関数で対象波の場合、f(θ)=Σ bn sin n ωt
で表せますよね？
第3高調波の場合、f(θ)=Σ b3 sin 3ωt
となって、同相となり、第5高調波の場合、f(θ)=Σ b5 sin 5ωtで、逆相。第7高調波の場合、f(θ)=Σ b7 sin 7ωtで、正相となりますね？
ここまでは、解ります。
で、質問です。
三相変圧器には、角変位ってのがありますよね？
例えば、△－Ｙ結線の場合、一次側電圧と二次側電圧には、基本波の場合、30°の角変位が現れますが、一次側電圧が歪んでいた場合の第5高調波の場合、150°。第7高調波の場合、210°の角変位があると思います。(一次側電圧の基本波を基本ベクトルとする)

f(θ)=Σ b5 sin 5(ωt＋θ)、f(θ)=Σ b7 sin 7(ωt＋θ)
となるからだと思いますが？
何故？
f(θ)=Σ b5 sin (5ωt＋θ)、f(θ)=Σ b7 sin (7ωt＋θ)とならないのでしょうか？
高等学校の初歩数学のレベルの問題かも知れませんが、何方か、レベルの低い私にも解るように説明できる方いらっしゃいませんか？助けてください。
宜しくお願いします。

回答No.3

LCR707 · ベストアンサー

#2補足に対する返答です。

　Vu = Σbn 2sin(nπ/3) sin(nωt + π/2 - nπ/3) --- (1)
より、n＝1 の基本波は、
　√3 sin(ωt+π/6) --- (2)
となります。√3はもちろん振幅です。トランスなので本来は巻き数比が関係しますが、ここでは無視しています。あるいは、トランスは関係無く、中性点から見た相電圧と、線間電圧の関係と言っても良いですね。
　(1)式より、位相関係は　sin(ωt+π/6) になります。±π/6 にはなりません。Vu の隣の Vw は、
　Vw = Vt - Vr = Σbn 2sin(nπ/3) sin(nωt + π/2 + nπ/3) --- (3)
なので、基本波は
　√3 sin(ωt+5π/6) --- (4)
になります。この相の２本の線をひっくり返すと
　√3 sin(ωt-π/6) --- (5)
になりますから、wan_wanさんが参考にされている本では、(2)(5)を一緒にして
　sin(ωt±π/6) --- (6)
と表現しているのではないでしょうか。

　工業的な観点から言えば、例えば JIS C4306 「配電用6kVモールド変圧器」には、Y－△結線のとき、１次側を UVW ２次側を　uvw とし、Oとoをそれぞれ中性点とすれば、「OU と ou 間の角度が 30°で、しかも OU が ou より進むように定める」とありますから、(5)式が合致します。6600V:210Vのトランスなので、さすがに△－Y結線の場合については書かれていません。上記のトランスの１次と２次を単純に入れ替えて△－Y結線にすれば、(2)式が該当しますが、実際にどのように定めているのかは、あいにく知りません。

お礼

早速のご指導重ね重ねありがとうございます。
ご指導いただいた内容については、繰り返し熟読し、習得に努めたいと思います。
私の理解力の不足からお手数ばかりかけて誠に申し訳ありません。
また、独力で突破できない状態になったときは、宜しくお願いします。
本当にありがとうございます。

回答No.2

LCR707

こんにちわ。歪みを伴う３相交流の話ですね。私も以前から興味はあったのですが、じっくり考えた事が無かったので、この機会に便乗し、計算してみました。

　△－Ｙ結線の３相トランスの１次側を RST、２次側を UVW とし、R 相電圧を
　Vr = Σbn sin(nωt)
とし、基本周期を T とすると、Vs,Vt は T/3 づつ時間がずれているので、
　Vs = Σbn sin(nω(t - T/3)) = Σbn sin(nωt - 2nπ/3)
　Vt = Σbn sin(nω(t + T/3)) = Σbn sin(nωt + 2nπ/3)
になります。２次側電圧 Vu は
　Vu = Vr - Vs
　= Σbn { sin(nωt) - sin(nωt - 2nπ/3)}
　= Σbn { sin(nωt) - sin(nωt)cos(2nπ/3) + cos(nωt)sin(2nπ/3)}
　= Σbn [ sin(nωt) { 1 - cos(2nπ/3)} + cos(nωt)sin(2nπ/3)]
　= Σbn { sin(nωt) 2 sin^2(nπ/3) + cos(nωt) 2sin(nπ/3)cos(nπ/3)}
　= Σbn 2sin(nπ/3) { sin(nωt)sin(nπ/3) + cos(nωt)cos(nπ/3)}
　= Σbn 2sin(nπ/3) cos(nωt - nπ/3)
　= Σbn 2sin(nπ/3) sin(nωt + π/2 - nπ/3)
になります。

　n=1 のとき、確かに π/2 - nπ/3 = π/6 = 30°になりますが、計算の過程で cos をむりやりsin に直しているので、π/2 の項が入っており、
　sin(nωt + θ)　や　sin n(ωt + θ)　
とは異なる形になっています。つまり、基本波の位相回転角 θ=30°を中心にすえて、高調波の位相角を考えるのは、無理なような気がします。

　１次側が sin、２次側が cos になることを前提にすれば、
　cos n(ωt - π/3)
の形ですから、「高調波の位相も、その次数に応じて回転する。」と考えること自体は正しいと思います。ベクトルの和によって位相が回転したので、群遅延（-dθ/dω)がフラットなのでしょうね。

補足

いつもお世話になっています。ありがとうございます。
ここまで、丁寧に解説して頂くと本来、理解できて当たり前なんでしょうが、なんせ頭が悪いもので、すみません。
単に、基本波の場合の二次側電圧をベクトル図で描くと、sin(ωt±π/6)で現せる(±は、△－Y、Y－△で変わる)と思います。
LCR707のご指導の数式は、高調波を含んだ式なので、= Σbn 2sin(nπ/3) sin(nωt + π/2 - nπ/3) で終わらせる必要があったのでしょうが？n＝1とした場合、sin(ωt±π/6)となるのでしょうか？
重ね重ねお手数をおかけします。
質問の方法が悪いにもかかわらず、詳細なご指導を頂いている上に、催促をしてすみません。
宜しくお願いします。
追伸：Σbn sin(nω(t - T/3)) の項で、T/3にもnが掛かってくるのが解りました。

回答No.1

Teleskope

（図が折り返らないよう、画面横幅を十分広げて閲覧を。）

　単にまだ見慣れてないだけと思われますが。

３次波 ｃｏｓ　─┐　　　┌──┐　　　┌──┐　　　┌─
　　　　　　　　　 └──┘　　　└──┘　　　└──┘
３次波 ｓｉｎ　┌──┐　　　┌──┐　　　┌──┐
　　　　　　　 　 　 　 └──┘　　　└──┘　　　└──┘
　　　　　　　　←→
　　　　　　　　π/2

基本波 ｃｏｓ　────┐　　　　　　　　　　　 ┌────
　　　　　　　　　　　　　　└────────┘
基本波 ｓｉｎ　┌────────┐
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　└────────┘
　　　　　　　　←───→
　　　　　　　　　　π/2

>> f(θ)=Σ b5 sin 5(ωt＋θ)、

　ひとつの項なんだからΣは付かない。
f(θ)= を付けるのも変。なぜなら最初の方で f(θ) を、
f(θ)=Σ bn sin n ωt すなわち「全部の和」であると紹介しているゆえ。
項そのものだけを書けば十分なのでは？

補足

早速のご指導ありがとうございます。(しかも、丑三つ時に！！)
質問の方法が悪くてすみません。
確かに、f(θ)、Σは、不要ですね？コピー、ペーストを行ったためです。(^＾;)
次数が異なると、角速度が異なることは、理解しているつもりです。Teleskopeさんが、描いて頂いた図は、θ=0の値の時の図ですよね？θが30°の場合は、どうなるのでしょうか？
π/2の時間が異なることが、私の理解を妨げていると思うのですが？
sin ωtとsin 3ωtの比較ではなく、sin (ωt+π/6)とsin 3(ωt+π/6)。sin (ωt+π/6)とsin (3ωt+π/6)の違いを教えて頂けないでしょうか？
お手数をお掛けします。
宜しくお願いします。