2次方程式の共通の解を教えてください

質問

(x^2 + (2 - 3a)x + 2a^2 - 3a + 1 = 0　　・・・(1)
2x^2 - 2ax - a + 1 = 0　　　　　　　　　　　　・・・(2)

方程式(1)と(2)が共通の解xを1つもつとき、aと共通の解xの値の組は
(a,x) = (?,?)である。

解説サイトを回ったのですが、よくわかりませんでした。聞く友達も先生もいないので教えてください。

回答No.7

noname#139832 · ベストアンサー

x^2+(2-3a)x+2a^2-a+1=0---(1)
2x^2-2ax-a+1=0---(2)
共通解をαとする
α^2+(2-3a)α+2a^2-3a+1=0---(1)'
2α^2-2aα-a+1=0---(2)'
(1)'×2-(2)'でα^2の項を消去
(4-6a)α+4a^2-6a+2+2aα+a-1
=(4-4a)α+4a^2-5a+1=0
になります
これさらにを整理すると
4(1-a)α+(4a-1)(a-1)=0
-4(a-1)α+(4a-1)(a-1)
=(a-1)(4a-4α-1)=0
となりますので

a=1と---(A)
4a=4α+1--->a=α+(1/4)---(B)
の２つの場合について考えます

(A)a=1の場合
(2)にa=1を代入すると
2x^2-2x=0
2x(x-1)=0となり
x=0,1になります
(1)にa=1を代入すると
x^2+(2-3)x+2-3+1
=x^2-x=0となり
x(x-1)=0
x=0,1になります
よって(a,x)=(1,0)(1,1)

(B)a=α+(1/4)の場合
(2)'に代入すると
2α^2-2{α+(1/4)}α-{α+(1/4)}+1=0
2α^2-2α^2-(1/2)α-α+(3/4)=0
-(2/3)α=-(3/4)
α=1/2
よってx=1/2
a=(1/2)+(1/4)=3/4
(a,x)=(3/4,1/2)

回答No.6

FT56F001

#4です。たびたびお騒がせします。

「答えは(a,x)=(1,0)か(1,1)か(3/4,1/2)」
と回答しましたが，問題の条件，
「方程式(1)と(2)が共通の解xを一つもつとき」
を考えると，a=1のときは共通解が
x=1とx=0の二つになるので不適です。

よって，答えは
(a,x)=(3/4,1/2)
です。

回答No.5

sabatorasiro

たいへん失礼いたしました。
途中の計算をミスっていることに気付きました。何もおかしくなかったです。

ですが・・・
そうなると共通なのは問題で与えられたｘ＝1の組だけになってしまうような？
もちろんａは1で。　不思議な問題です。

回答No.4

FT56F001

x^2 + (2 - 3a)x + 2a^2 - 3a + 1 = 0　　・・・(1)
2x^2 - 2ax - a + 1 = 0　　　　　 　　　・・・(2)

ごめんなさい。問題を写し間違えてました。
#2は無視してください。

共通解のxは(1),(2)を満たしますから，
(1)×2-(2)
(4-4a)x + 4a^2-5a+1=0 ・・・(3)
も満たします。
よって
4(a-1)x = (4a-1)(a-1) ・・(4)
a=1 または x=(4a-1)/4・・・(5)

a=1を(1)(2)に代入すると
x(x-1)=0
2x(x-1)=0
を得ます。
(a,x)=(1,0)または(1,1)

一方，x=(4a-1)/4・・・(5)を(2)に代入して，
-(3/2)a+9/8=0
を得ます。これよりa=3/4,(5)よりx=1/2
よって(a,x)=(3/4,1/2)

よって答えは(a,x)=(1,0)か(1,1)か(3/4,1/2)

回答No.3

Knotopolog

与式：

x^2 ＋(2－3a)x ＋2a^2 －3a ＋1 ＝ 0　　・・・(1)
2x^2 －2ax －a ＋1 ＝ 0　　　　　　　　・・・(2)

の共通の解は，

(a, x) ＝ (1, 1) です．つまり，　a＝1， x＝1　です．

計算方法は，(1)×2 －(2) により，

4a^2 －(4x＋5)a ＋4x ＋1 ＝ 0　　・・・(3)

を得ます，これを a について解くと，

a ＝ [4x＋5 ±(4x－3)]/8　　・・・(4)

となります．これから，±　の －（マイナス）の解として，

a ＝ (4x＋5 －4x ＋3)/8
a ＝ [5 ＋ 3 )]/8
a ＝ 8/8
a ＝ 1

が得られます．次に， a ＝ 1　を (1) と (2) へ入れると，

x^2 ＋ (2 － 3)x ＋ 2 － 3 ＋ 1 ＝ 0　　・・・（1'）
2x^2 － 2x － 1 ＋ 1 ＝ 0　　・・・（2'）

x^2 － x ＝ 0　　・・・（1''）
x^2 － x ＝ 0　　・・・（2''）

となりますので，

x － 1 ＝ 0

より，

x ＝ 1

となります．したがって，答えは，

(a, x) ＝ (1, 1) です．

回答No.2

FT56F001

x^2 + (2 - 3a)x + 2a^2 - 3a + 1 = 0　　・・・(1)
2x^2 - 2ax - a + 1 = 0　　　　　 　　　・・・(2)

共通解のxは(1),(2)を満たしますから，
(2)-(1)×2
(4-4a)x + 4a^2-6a+1=0 ・・・(3)
も満たします。これより，
x=(4a^2-6a+1)/(4a-4)・・・(4)
このxを(2)に代入して，
(8a^3-24a^2+24a-9)/(4a-4)^2=0
を得ます。
分子は
(8a^3-24a^2+24a-9)=(2a-3)(4a^2-6a+3)と因数分解できるので，
実数解はa=3/2だけです。
これを(4)に代入して，x=1/2。よって，
(a,x)=(3/2,1/2)が答えです。

回答No.1

sabatorasiro

一応解こうとしてみたのですがどうにも合いません。
通常この手の問題は二つの式のｘに1を代入すれば答えが見えてくるものですが
(2)の式にｘ＝1を代入するとａ＝1となり
(1)の式にｘ＝1を代入して出来る式と合わなくなってしまいます。

あなたの書いた式自体が間違っていませんか？

(x^2 + (2 - 3a)x + 2a^2 - 3a + 1 = 0　　・・・(1)
の先頭の余分な(が何かを意味していると思います。

例えば(1)が
-(x^2 + (2 - 3a)x) + 2a^2 - 3a + 1 = 0　ならば
求めるべき(a、x)は(1、0)になります。

補足

x^2 + (2 - 3a)x + 2a^2 - 3a + 1 = 0　　・・・(1)
最初の括弧は記入ミスでしたすいません