条件つき確率（？）の計算

質問

ある容器に無数のコインが入っている。
それらのコインは、投げたとき表が出る確率(p)が必ずしも1/2ではなく、全くでたらめである。(p=0からp=1まで一様に分布している)
この容器からでたらめに一枚のコインを取り出し、n回投げたところ、そのうち表が出たのはr回であった。
このコインをさらにもう一度投げるとき、表が出る確率はいくらか。

という問題なのですが、まったく分かりません。
考え方を（手間でなければ解答も）教えてください。

回答No.5

arrysthmia · ベストアンサー

＞「このコインをさらにもう一度投げるとき、表が出る確率」ではなく、「このコインのp」ではないですか？

その二つは、同じものです。
「このコインのp」の値が x であるとき、「このコインをさらにもう一度投げるとき、表が出る確率」も x で、
したがって、「n回投げたところ、そのうち表が出たのはr回であった」確率は、(nCr)・x^r・(1-x)^(n-r) です。

その p が、ある確率分布に従う確率変数である訳ですが、
p の確率分布は、無条件であれば、「p=0からp=1まで一様に分布している」。これが、p の事前確率分布です。
その中から、「n回投げたところ、そのうち表が出たのはr回であった」p だけを選ぶように条件を加えれば、
この条件下での p の確率分布は、最初のものとは異なります。これが、p の事後確率分布です。
事後確率分布の確率密度関数が、求めるべき f(x) です。

＞ 私には、これこそが求める解であると感じられます。
＞（そうでなかったとしても、私は別途その実数の正体を知りたいです）

貴方が求めようとしているものは、「表が出る確率」でなくて、「表が出る確率」の期待値にすり替わっています。
その値も興味深いものですが、「表が出る確率はいくらか」と問われたら、要求されているものは違うと思います。
クドイようですが、「表が出る確率」は、それ自体が、ある確率分布に従う確率変数なので、１個の実数値としては
求まりません。

＞ あるpをもつコインをn回投げてr回表が出る確率 = nCr(n,r)・p^r・(1-p)^(n-r)が関係していそうだと感じました。

事象 A と事象 B があるとき、A が起こる確率を P[A]、(A かつ B) という事象が起こる確率を P[A∧B]、
A が起こったという条件下に B が起こる確率を P[B|A] と書くと、P[A∧B] = P[A]・P[B|A] という関係があります。

ここで、A =「確率変数 p の値が x になる」、B =「n回投げたところ、そのうち表が出たのはr回であった」とすると、
P[B|A] = (nCr)・x^r・(1-x)^(n-r) です。問題が要求しているものは、f(x) = P[A|B] です。
一般に、P[B|A] と P[A|B] の関係を扱う技法を「ベイズ統計」と言います。

お礼

しばらく無為をしていましたが、先ほど閃きがあり、ようやく分かりました。

1. f(x,n,r) = nCr * x^r * (1-x)^(n-r) は、確率密度関数の相対的形状を示す
2. 確率密度関数の総和は1であるはずだから、確率密度関数は、g(x,n,r) = f(x,n,r) / ∫[0,1](f(x,n,r) * dx)
3. また、以上より、pの期待値は ∫[0,1](x * g(x,n,r) * dx)

念のため、実際に計算で確認を行ってみましたが、やはり正しいようです。

arrysthmiaさんの丁寧な先導のおかげで、自分で止めを刺すことができました。とてもいい気持ちです。
心からお礼を申し上げます。

P.S: 最後の数式は、見た目の重厚さに反して、私が試した全ての(n,r)について
(r+1)/(n+2) というシンプルな値を返しました。不思議な式です。

回答No.4

arrysthmia

No.3への補足　←微妙ですが、たぶん違います。
「求める解 = ∫[0,1] q(x)・dx ÷ 1」としたのでは、
依然として、一つの実数値を求めようとしているでしょう？
No.3で述べたことは、
「このコインをさらにもう一度投げるとき、表が出る確率」は、
１個の確定値ではなく、それ自体が確率変数だから、
値を求めようとすることは無意味で、替わりに、
その確率の確率密度関数を求めなければならない ということです。

要するに、f(x) が求めるべき解だ と言っているのです。
「r/n は、確率変数 q の期待値です。」と書いたのは、
∫x f(x) dx = r/n だ という意味です。

質問のタイトルに「条件付確率」とありますが、
これは、正にベイズ統計・条件付確率の問題です。
p の事前確率分布が「p=0からp=1まで一様に分布」であって、
「n回投げたところ、そのうち表が出たのはr回であった。」が観測されたとき、
その条件下での p の事後確率分布を求めよ と問われているのです。

補足

待ってください。全く恐れ多いのですが、説明の一部に違和感があります。

もしかすると、arrysthmiaさんがおっしゃっている確率変数qは、
「このコインをさらにもう一度投げるとき、表が出る確率」ではなく、「このコインのp」ではないですか？

> 「このコインをさらにもう一度投げるとき、表が出る確率」は、
> １個の確定値ではなく、それ自体が確率変数だから、
> 値を求めようとすることは無意味で、替わりに、

これが、「このコインのpは１個の確定値ではなく～」であれば、私は違和感なく受け入れることができます。

実際に問題の行為をN回行ってみて、そのうち何回のn+1投目が表であったかをRとすれば、Nを増やすにつれて、R/Nは何かひとつの実数に近づいて行く筈です。
私には、これこそが求める解であると感じられます。
（そうでなかったとしても、私は別途その実数の正体を知りたいです）

…

それはそれとして、qの確率密度関数についてですが、
あるpをもつコインをn回投げてr回表が出る確率 = nCr(n,r)・p^r・(1-p)^(n-r)が関係していそうだと感じました。
この方向は正しいですか？

回答No.3

arrysthmia

p が確定した値でなく、一様分布に従う確率変数ですから、
「このコインをさらにもう一度投げるとき、表が出る確率」q も
確定した一つの値ではなく、ある確率分布に従う確率変数になります。
r/n は、確率変数 q の期待値です。
q の確率密度関数を求めることは、可能ですが…。

以上の説明が何を言っているのか、理解できたなら、
補足に返信をどうぞ。確率密度を求めるためのヒントを書きます。

補足

n回投げてr回表が出たコインのpがxである確率をf(x)とすれば
q(x) = x・f(x)
であり、
求める解 = ∫[0,1] q(x)・dx ÷ 1
だから、
問題の核心はこのf(x)を求めることである、という認識であってますでしょうか？

回答No.2

opechorse

もっと単純に
分母
いままでn回投げた数
分子
そのうち表が出た数　r

→今までの確率r/n

次の１投
今までの確率で表が出るだろうから　r/n・・・答え
です

確率の定義は
n回繰り返し試行したとき、対象の事象がr回おこる→r/n

一般的なコインのように
表と裏が出る確率が均等ならば
対象となる事象の数(コイン：１つ)÷すべての事象の数(コイン：２つ)
ですが
今回の問題のような場合
それが分からないので、定義に戻って試行を繰り返したと考えます

補足

そうなると、例えば、1回投げて1回表が出たコインの2投目が表である確率が1/1となるのは変ではないですか？
0回投げて0回表が出たコインの1投目が表である確率は明らかに1/2である筈ですし。

回答No.1

opechorse

課題丸投げは禁止なのですが
方針として
まず確率とは何か、今回の問題に関して表が出る確率の分母は何か?分子は何か?
これが分かればというか問題文に書いてありますが
おのずと分かります

補足

確率=「ある条件をみたす事象の総数/起こりうる全ての事象の総数」
という感じでしょうか...となると、
分母=「n回投げてr回表が出たコインをもう一度投げる試行を繰り返した回数」
分子=「n回投げてr回表が出たコインをもう一度投げる試行を<分母>回繰り返したとき、そのうち表が出た回数」
ですかね？
整理してはみましたが、やはりよく分かりません。