構造因子の難問

質問

1.ウルツ鉱構造ZnS：原子配置 Ｚｎ (0, 0, 0), (1/3, 2/3, 1/2) S: (0,0,8/3), (1/3, 2/3, 7/8)
2.ルチル型構造TiO₂：原子配置Ti (0,0,0), (1/2,1/2,1/2),O(u,u,0), (-u,-u,0), (1/2-u,u+1/2,1/2), (u+1/2,1/2-u,1/2)

の消滅則を示すという結晶の構造因子に関する問題です。1.に関しては、構造因子を求めることはできましたが、場合分けがうまくできず、消滅則が示せません。2.は構造因子をうまく因数分解して積の形に持ち込めず、消滅則も示せません。かなりの難問だと思いますが、どうか知見のある方、ご教授願います。

回答No.4

rnakamra · ベストアンサー

>uは有理数とは限らないためかなり限定されます」とはどういう意味かがまだよく分かりません。

uが有理数だと、uh,ukが整数になるようなh,kにおいても構造因子が"0"になってしまいます。uが無理数だとそのような整数h,kは一つしかありえません。

お礼

やっと意味が分かりました。丁寧に教えていただき、ありがとうございました。

回答No.3

rnakamra

#2のものです。

>f(TiO₂)=f(Ti)[1+exp{-πi(h+k+l)}]+f(o)[cos{-2π(hu+ku)}+exp{-πi(h+k+ｌ)｝cos{-2π(-hu+ku)}]

この式よく見たらcosで書いていますね。見落としてました。
変形したらこれに近い形になります。(係数に2がつくはずですが)
ここから変形するのならexp{-πi(h+k+l)}=-1を代入して三角関数の和→積の公式を使えばよいでしょう。

補足

回答から消滅則に関するh,k,lの条件は分かりました。
ただ、「uは有理数とは限らないためかなり限定されます」とはどういう意味かがまだよく分かりません。

回答No.2

rnakamra

#1のものです。

>1.F(ZnS)={f(Zn)+f(S)exp(-2πi・3/8l)}[1+exp{-2πi(1/3h+2/3k+1/2l)}]

前の部分については原子散乱因子f(Zn)とf(S)は状況により変化するため計算のしようがありません。(たとえばX線の波長が違ったり、中性子線を使ったりすると原子散乱因子はその都度変わってしまいます)
ですので後ろの{}の中だけを考えればよいでしょう。
1+exp{-2πi(1/3h+2/3k+1/2l)}=0
exp{-2πi(1/3h+2/3k+1/2l)}=-1
となるh,k,lの組(もちろんh,k,lは整数でなければならない)を調べればよい。
-1=exp{(2n+1)πi}
の関係を使えばすぐわかるでしょう。(exp(iθ)が複素平面上でどのような点であるか考えればわかります。)
答えは分数が出ない形にしておいたほうが良いでしょう。

>2.f(TiO₂)=f(Ti)[1+exp{-πi(h+k+l)}]+f(o)[cos{-2π(hu+ku)}+exp{-πi(h+k+ｌ)｝cos{-2π(-hu+ku)}]

これもf(Ti)とf(O)は独立な数と考えると、それぞれにかかる式の値がゼロになる必要があります。
f(Ti)に後ろにある式=0から
exp{-πi(h+k+l)}=-1
が得られます。1.の時と同じ方法でh,k,lの関係式が得られます。

次にf(o)の後ろにある式ですが、これはどうも正しくはなさそうですね。
Oの座標が4個ありますので項数は4個ないとおかしい。
丁寧に全て書き下すと良いでしょう。
途中でexp{-πi(h+k+l)}が出てきたら-1としてかまいません。(f(Ti)の係数の条件よりこの式が成り立つのが前提となる)
4個の項の式になりますが、結構簡単な因数分解できる形になります。
因数分解後どちらかの因子がゼロになる、という条件からh,k,lの条件を導きますが、uは有理数とは限らないためかなり限定されます。

補足

f(o)の式で項数が4個なのは、exp(ix)+exp(-ix)=2cos(x)の関係を用いたからですが、間違ってますか？（すみません、cosの前の2が抜けていました。）
そうすると、この関係式を用いる前の式(この関係式を用いてexpの式にしたもの）も間違ってますか？
もし違うのなら、正しい式は、どのようになりますか？
あと、「uは有理数とは限らないためかなり限定されます」とありますが、これはどういう意味でしょうか？

回答No.1

rnakamra

人に質問するなら自分で計算した構造因子を出してください。
もしかするとそちらに計算間違いがあってはまってしまっているのかもしれません。

ヒントだけ。
1.Zn,Sそれぞれから求めた因子=0となるh,k,lを求めればよい。
Znの寄与=0の式なら簡単に解けると思います。
別にSの寄与=0の式を出して、得られた式が消滅則となります。

2.同様にTiからの寄与=0の式とOからの寄与=0で式を立てる。
Tiからの寄与の式についてはわかりやすい。
Oからの寄与=0の式は一見かなりわかりにくい。しかし、Tiからの寄与=0で得られた式を用いるとかなり簡単に形に落ち着きます。

補足

おっしゃる通り、計算結果を出すべきでしたね。
では、計算結果を示します。
1.
F(ZnS)={f(Zn)+f(S)exp(-2πi・3/8l)}[1+exp{-2πi(1/3h+2/3k+1/2l)}]
2.
f(TiO₂)=f(Ti)[1+exp{-πi(h+k+l)}]+f(o)[cos{-2π(hu+ku)}+exp{-πi(h+k+ｌ)｝cos{-2π(-hu+ku)}]