フーリエ級数の式変形での質問です（再）

質問

添付したファイルをご覧ください。ある参考書においてのフーリエ級数の係数を求めるための式変形ですが、気になるところがあるので質問させていただきます。(2)から(3)の変形で、Σの極限の分割は単純にできるのでしょうか？ΣancosnxとΣbnsinnxの極限がそれぞれ存在すれば分割は可能と思われますが、ΣancosnxとΣbnsinnxの極限がそれぞれ存在するのは自明なのでしょうか？また、(4)から(5)の変形では、Σと∫の入れ替えは可能なのでしょうか？単純な話ではないように思えるのですが・・・御教授いただけると幸いです。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

せっかく自爆しておいたのに、誰も
収束定理のことを書かないなあ。

お礼

ご教示ありがとうございます。収束定理ですか・・・これをキーワードに勉強してみます。それにしても、たった数行の変形ですが奥が深いのですね。

回答No.2

alice_44

教科書より、貴方のほうが正しい。
もとの関数が区分的滑らかであっても、
不連続であれば、ギブス現象は生じる。
すなわち、不連続点の近傍では、
フーリエ級数の収束は一様ではない。

回答No.1

alice_44

f(x) がフーリエ級数展開可能であれば、
f(-x) もフーリエ級数展開可能だから、
f(x)+f(-x) も f(x)-f(-x) もフーリエ級数展開可能になる。
すなわち、Σan cos nx も Σbn sin nx も収束する。

∫ と Σ の順序交換は、級数の収束が
積分変数について一様な場合に限られ、
いつでも可能な訳ではない。

お礼

迅速な御回答ありがとうございました。Σan cos nx とΣbn sin nx の収束については御教授いただいた通り理解できました。ただ、∫ と Σ の順序交換なんですが、交換している（私の読んでいる参考書では。）ということは、Σan cos nx も Σbn sin nx も一様収束しているといことなんですね。ただ、f(x) がフーリエ級数展開可能の条件が「f(x) が周期関数で区分的に滑らかである」と書いてありますが、この条件からΣan cos nx も Σbn sin nx も一様収束することは言えるのでしょうか？「区分的に滑らか」とは「f(x)が閉区間の有限個の点を除いて、関数y=f(x)と導関数y=f'(x)がともに連続」であることと定義されていますが、この条件からΣan cos nx も Σbn sin nx も一様収束することが言えるとは思えないのですが・・・御教授、御意見いただけると幸いです。