京大対策のテストみたいなのに出た数学の問題です。

質問

簡単そうなんですが解けません。

分かる方教えてください＞＜

数学の質問なんですが

ｎ角形の頂点から４点選んで四角形を作るうち

元のｎ角形の辺を含まないものはいくつあるか。

ただし、回転、対称移動は考えない。

分かりません。よろしくお願いします＞＜

回答No.6

alice_44

Σ の計算をやってみたら、同じ値になったもんね。
(誰がどう見ても、負け惜しみ。)

回答No.5

naniwacchi

#3です。

kotokototoさん、ご指摘ありがとうございます。
最後、表記ミスでした。
(後から見てて、なんか変だなあと思ってたところでした)

n* (n-5)Ｃ3/ 4＝ n(n-5)(n-6)(n-7)/(4！)

です。

そうでないと、n≦ 7で 0になりませんね。＾＾；

回答No.4

kotokototo

全パターン ( nC4 ) から添付画像のようなものの個数を引くことでも得られます．

(1) 1つの頂点を選ぶとこのパターンは確定するので nC1 個．

(2) 3連続している頂点の場所を選び( nC1 )，
　　残りの1つの頂点を選ぶ．( (n-5)C1)

(3) ダブりに気をつけて数えてください．

(4) (3)とかぶらないように数えてください．

No.3さんの解答は
　n(n-5)(n-4)(n-3)/(4！)
ではなくて
　n(n-5)(n-6)(n-7)/(4!)
ですよね．

それなら，一緒になりました．

回答No.3

naniwacchi

こんにちわ。
いろいろいじくりながら、考えてみました。＾＾

・まず、n角形の頂点の 1つを選び、その頂点を含む四角形の数を a(n)とする。

・その頂点自身以外の n-1個の点を 4分割すればよい。
そのとき、各「区間」に少なくとも 1個の点が入らなければならない。

・各区間に 1つ以上の点を含むために、あらかじめ 1つずつ点を入れておく。
残り n-5個の点から、四角形の残りの頂点となる 3つの点を選択する。
この選び方は、(n-5)Ｃ3とおり。

よって、a(n)＝ (n-5)Ｃ3

・n個の頂点それぞれで四角形を数え上げていくと、n* a(n)＝ n* (n-5)Ｃ3
このままでは、同じ四角形を 4つの頂点のそれぞれで数え上げてしまうので、
その分を割らなければならない。
よって、求める四角形の数は、
n* (n-5)Ｃ3/ 4＝ n(n-5)(n-4)(n-3)/(4！)

n＝ 8(2個), n＝ 9(9個)では満たされていることは確認しました。

方針として、考えてみたのは
1) 対角線の数を数え上げるように、数え上げていく（重複しているものを差し引いていく）。
2) n角形での題意を満たす四角形の数を S(n)とでもおいて、漸化式を与える。
3) 各頂点を含む四角形の数を a(n)とおいて、漸化式を与える。

3)のつもりで考えたら漸化式を立てるでもなく、求まったという次第です。＾＾；

回答No.2

noname#157574

少なくともいえるのは，n≦7 の場合は一個もできないことです。

回答No.1

alice_44

ださい解法。これしか思いつかなかった。
四角形の頂点を、時計回りにABCDと名付けて数え、
後でABCDの付け方の分 4 で割ることにする。
A の選び方は、どの頂点でもいいので、n 通り。
B の位置を A から時計回りに b 点目とすると、
許される b は b = 2, 3, 4, …, n-6。
n-6 より後ろは、C, D がつっかえる。
C の位置を A から時計回りに c 点目とすると、
許される c は c = b+2, b+3, b+4, …, n-4。
n-4 より後ろは、D の置き場がない。
D の位置を A から時計回りに d 点目とすると、
許される d は d = c+2, c+3, c+4, …, n-2。
求めるべき、四角形の個数は、
(1/4) n Σ[b=2～n-6] Σ[c=b+2～n-4] Σ[d=c+2～n-2] 1。
多項式の Σ に過ぎないから、地道に計算すれば答えは出る。
恐らく、ちゃんと鮮やかな解法が他にあるが、
試験中であれば、ミューズが降りてくるのを待つより、
計算労働者になったほうがいい。ともかく、答えは出る。