簡単かもしれませんが、教えて下さい

質問

Ａ、Ｂ、Ｃはどの二つも異なる実数とする。
｜Ａ－Ｂ｜＋｜Ｃ－Ａ｜＝｜Ｂ－Ｃ｜が成り立つ時、Ａ，Ｂ，Ｃの大小について成り立つ関係を求めよ。
と言う問題で、答えはＢ＜Ａ＜Ｃ、Ｃ＜Ａ＜Ｂとなっています。

３つの実数を、正の場合と負の場合とで場合分けして考えればよいのでしょうか？しかし、場合分けをするとなると、たくさんの場合分けが考えられると思うのです。そんなに大変な問題なのでしょうか？解き方を教えて下さい。

回答No.5

ticky · ベストアンサー

式を眺めると、
｜Ａ－Ｂ｜＋｜Ｃ－Ａ｜＝｜Ｂ－Ｃ｜
右辺にはAがありませんから、
左辺の絶対値をはずすと、Aが消えるはずですよね。

左辺のAが消えるのは、
A-B>0かつC-A>0の場合か、
A-B<0かつC-A<0の場合のみです。

この二つの場合は、つまり
A>BかつC>A（すなわち、B<A<C）
B>AかつA>C（すなわち、C<A<B）
です。

あるいは、A、B、Cを一次元上の点の座標だとして、
「B-C間の距離は、A-B間の距離とB-C間の距離の和に等しい」と解釈すれば、
「Aは直線BC上にあり、点Bと点Cの間にある」ことになるので、納得できます。

これはまぁ、一般的につかえる回答じゃないかもしれませんけど。

やっぱり場合分けするのが普通でしょうか。
でも、場合分けするときでも、BとCが入れ替わっても全く同じに成り立つ式ですので、BとCを入れ替えただけの場合は考える必要はなく、
例えば
A>B>C
B>A>C
B>C>A
の三通りについて考えるだけで十分です。（場合分けが半分に減ります。）
この場合は、B>A>Cのみが上式を満たすものだとわかるわけですが、BとCを入れ替えたもの（B<A<C）も、回答に加えるわけです。

お礼

納得のいく説明を有難うございました。

回答No.4

mirage70

まず最初に、半径B,半径Cの円を書きますと、｜B-C｜は半径の差となります。
そして、大きい方の半径よりも大きくして、円を書くと｜Ａ－Ｂ｜または｜Ｃ－Ａ｜が｜Ｂ－Ｃ｜を越えていることが判ります。
また、逆に小さい方の半径よりも小さく書くと、同様のことが判ります。
よって、半径B,半径Cの円の間に書きますと、
｜Ａ－Ｂ｜＋｜Ｃ－Ａ｜＝｜Ｂ－Ｃ｜が成り立つことがわかります。そして、中心を通る線を引き左右を見ると、
Ｂ＜Ａ＜Ｃ、Ｃ＜Ａ＜Ｂとなります。

此を発展させれば、直線上にB,Cを取れば、｜Ｂ－Ｃ｜は点BC間の距離であることが判ります。
同様に、点AをBCよりも外側に取ると、｜Ａ－Ｂ｜または
｜Ｃ－Ａ｜が｜Ｂ－Ｃ｜を越えていることが判ります。
そして、点AをBC間に取ると、｜Ａ－Ｂ｜＋｜Ｃ－Ａ｜＝｜Ｂ－Ｃ｜が成り立つことが判ります。

お礼

円で考えるのですか。参考にします。

回答No.3

kitanoms

Ａ，Ｂ，ＣのなかでＡが一番大きいときは
|Ａ－Ｂ|＋|Ｃ－Ａ|＝（Ａ－Ｂ）＋（Ａ－Ｃ）
　　　　　　　　　＝２Ａ－Ｂ－Ｃ　となり不適
同様にＡが一番小さいときは
|Ａ－Ｂ|＋|Ｃ－Ａ|＝（Ｂ－Ａ）＋（Ｃ－Ａ）
　　　　　　　　　＝Ｂ＋Ｃ－２Ａ　となり不適
一方、Ｂ＜Ａ＜Ｃのときは
|Ａ－Ｂ|＋|Ｃ－Ａ|＝（Ａ－Ｂ）＋（Ｃ－Ａ）
　　　　　　　　　＝Ｃ－Ｂ
Ｃ＜Ａ＜Ｂのときは（Ｂ－Ａ）＋（Ａ－Ｃ）＝Ｂ－Ｃ
となってＡが消えます。

お礼

回答有難うございました。

回答No.2

hinebot

A,B,Cの大小関係を仮定して、それぞれについて絶対値がどうはずれるか、そして等号が成立しえるかを考えましょう。
A>B>C
A>C>B
B>A>C
B>C>A
C>A>B
C>B>A (A<B<C)
の６通りを検証すればOKです。

お礼

丁寧な回答、有難うございます。

回答No.1

1031janai

直感です。自信なかったけど答えがあってるんできっと考え方も合ってるんでしょう。簡単に説明すると、
与式よりBとCの距離が1番遠いのが分かります。だからBとCを1番離して間にAを入れる。
でもこんな説明じゃよくて△でしょうね・・・

お礼

回答有難うございました。