非有界区間の積分と極限
∫[0,∞]e^(-x^2)dx=√π/2
を示すために
e^x>x+1(x≠0)(x=0での一次近似)
より
両辺にx=x^2とx=-x^2を代入すると
1-x^2<e^(-x^2)<1/(1+x^2)……(1)
(1)のそれぞれのグラフの形に留意しながら定積分の値を定めて
それぞれをn乗してから定積分しても大小関係は変化しないので
∫[0,1](1-x^2)^ndx<∫[0,∞]e^(-nx^2)dx<∫[0,∞]1/(1+x^2)^ndx
ここで
x=cosθと置換すると
∫[0,1](1-x^2)^ndx=∫[0,π/2]sin^(2n+1)θdθ
x=1/tanθと置換すると
∫[0,∞]1/(1+x^2)^ndx=[0,π/2]sin(2n-2)dθ
また
I_n=∫[0,π/2]sin^nθdθ
は1≦nにおいて
I_2n=π/2・1/2・3/4・5/6・7/8…(2n-1)/2n=πΠ[k=1,n](2k-1)/2k
I_(2n+1)=1・2/3・4/5・6/7・8/9…2n/2n+1=Π[k=1,n]2k/(2k+1)
となる。
更に
√n・x=yとおくと
∫[0,∞]e^(-nx^2)dx=1/√n∫[0,∞]e^(-y^2)dy
なので
求める定積分は
√n・I_(2n+1)<∫[0,∞]e^(-x^2)dx<√n・I_(2n-2)
ここまでは自力でたどり着いたのですが
lim[n→∞]I_(2n+1)→√π/2
が示せなくなってしまいました。。。
これさえ示せれば証明できるのですが。。。
どなたかご教授お願いします。
お礼
解けました！
補足
S(m,0)=1/(m+1)となりました。 これをどのように使うのですか？ 漸化式の使い方がいまいちわかりません