確率分布の問題で

質問

分散の加法定理
Ｖ(Ｘ＋Ｙ)＝Ｖ(Ｘ)＋Ｖ(Ｙ)　　…※
がいまいち分からないんですが、次の問題で教えていただけるとありがたいです。よろしくお願いします。

問題　一個のサイコロを投げるとき出る目の数をＸと　　　する。このとき次の確率変数の期待値と分散を　　　求めよ。

(１)Ｘ＋２　(２)３Ｘ－１　(３)－Ｘ＋３
______________________________________________

このとき
Ｅ(Ｘ) 　＝(１＋２＋３＋４＋５＋６)×１/６
　　　　　＝２/７…(1)
Ｅ(Ｘ^2) ＝(１^2＋２^2＋３^2＋４^2＋５^2
　　　　　　＋６^2)×１/６
　　　　　＝９１/６…(2)
(1),(2)より
　Ｖ(Ｘ)　＝９１/６－(２/７)^2
　　　　　＝３５/１２…(3)
(１)期待値　　Ｅ(Ｘ＋２)＝Ｅ(Ｘ)＋Ｅ(２)
　　　　　　　　　　　　＝７/２＋２(∵(1)より)
　　　　　　　　　　　　＝１１/２　　　　　
　と、ここまでは分かるんですが分散のほうで
　　Ｖ(Ｘ＋２)＝Ｖ(Ｘ)＋Ｖ(２)
　　　　　　　＝３５/１２＋２
　　　　　　　＝５９/１２　　　
　と解いたのですが、期待値のほうは当たり、分散のほうだけ答えが外れたんですが、Ｖ(２)＝０として考えるのでしょうか？期待値のほうはこのようにＥ(２)＝２と考えていいのでしょうか？ちなみに分散の方の答えは３５/１２でした。できたら理由付きで早急にお願いします。

回答No.2

noname#24477 · ベストアンサー

＞V(2)＝０として考えるのでしょうか？
そうです。

分散というのは平均からの偏り（広がり）を示す指標の一つですから
定数なら平均のところに固まっていることになりますから
分散は０です。

変数に一定の値を足せば分布は全体に上にずれますから
平均もずれますが、
平均からの偏り（広がり）は変わりません。公式は前のかたの
おっしゃる通りで　（V(b)＝０　で）

V(aX+b)＝V(aX)＋V(b)＝(a^2)V(X)

回答No.1

0425Hz

こんにちは。
ちょっと問題の大元で間違っていますよ。
balanbajp2さんが例にあげておられる問題でY＝X＋2の分散を求めるのに、Ｖ(X＋Y)＝Ｖ(X)＋Ｖ(Y)は使いません。

例をあげましょう。
ここにY＝ａX＋ｂと表されるＹがあるとします。
ａ、ｂは普通の数字だと思ってくださいね。
この場合、何故だか知りませんが、Ｙの分散Ｖ(Ｙ)は
Ｖ(Y)＝ａ^2Ｖ(X)
となります。ａを二乗してＶ(X)をかけるだけ。
例えばＶ(X)＝3、Y＝2X＋4という場合には
Ｖ(Y）＝2×2×3
　　　＝4×3
　　　＝12
となります。
数Bの問題集には載っていると思うのですが…。

ついでに、期待値も求めてみましょう。
この場合、期待値Ｅ(Ｙ)は質問文でのbalanbajp2さんの方法も間違いではありませんが、これにも公式があります。
Ｅ(Y)＝ａＥ(X)＋ｂ
これでＯＫ。
実際にＥ(X)＝5、Y＝4X＋7場合は
Ｅ(Y）＝4×5＋7
　　　＝27
となります。
Xの二乗とか面倒くさくなくてすごくラクチン。（＾＾）

Ｖ(Ｘ＋Ｙ)＝Ｖ(Ｘ)＋Ｖ(Ｙ)を使う問題は難しく考えず、Ｖ(Ｘ)とＶ(Ｙ)が与えてある場合に、そのまま公式に当てはめれば良いのです。もし、Ｖ(Ｘ)とＶ(Ｙ)が与えてなければ、問題の途中で求めるようになっているはずです。

Y＝ａX＋ｂの場合、
Ｅ(Y)＝ａＥ(X)＋ｂ
Ｖ(Y)＝ａ^2Ｖ(X)　
↑を使えば答えどおりになりますね。理由はこういう公式がある、ということでダメですか？（ダメって言われてもあるかた仕方ないんですけどね/笑）

こんな説明でよろしいでしょうか？