連続

質問

数学IIICで、関数の極限をやっているのですが、関数の連続、の意味がいまいちつかめません。

どなたかわかりやすく教えてください。

よろしくお願いします。

回答No.1

indigobluet · ベストアンサー

関数f(x)が点aで連続であるというのはlim[x→a]f(x)＝f(a)であることを言います。
しかしこれは大分おおざっぱな定義で、本当にきちんと定義するならε-δ論法というのを使わなければなりません（それでもまだおおざっぱだという場合もあります）
厳密な定義でなく何となく掴む程度なら、「グラフが途切れていない」というレベルの理解で良いと思います。

例えばf(x)=1/xのグラフはx=0の点で途切れている（±∞に発散する）ので、x=0の周りでは非連続です。
他には[x≠0のときy=2x、x=0のときy=100]というようなグラフは全てのxに対応するyが存在しますが、x=0の地点でグラフが途切れているので、その周りでは非連続です。
逆に[x≠1のときy=2x、x=1のときy=x^2-5x+6]というグラフでは場合分けをしていますが途切れたグラフにはならないので全ての点において連続です。