力学の2体問題です

質問

質量Mの恒星と質量mの惑星が重心のまわりを円軌道を描いて公転しているとする惑星系である。恒星と惑星の間の距離をaとし、M >>mである。
この時この系を真横から見た場合、恒星の視線方向の視線方向の速度は時間とともに正弦関数の形に変化する。その振幅CをM , m , a を用いて表せ。(M + m≒M としてもよい)

いろいろと考えてみたのですが、振幅の次元は速度の次元なので与えられた文字だけでは表せないような気がして悩んでいます。
わかる方がいましたら教えて頂けないでしょうか。

回答No.2

yokkun831 · ベストアンサー

半径 r の等速円運動
x = r cosωt
y = r sinωt

視線方向をy方向とすると，y方向の速度は
dy/dt = rω cosωt

恒星の回転半径は，

r = am/(M+m)

したがって，速度の振幅は

rω = maω/(M+m)

円運動の方程式より

Mrω^2 = GMm/a^2
∴ω = √{ Gm/(a^2r) }

これを上の振幅に代入すれば完了です。

回答No.1

indigobluet

「時間」によって変化する「速度」のグラフなので、横軸に時間、縦軸に速度をとります。
この振幅は横から見たときに速度0からまた速度0になるまでの時間なので、公転周期の半分の時間に当たります。
ケプラーの第三法則からa^3/T^2=G(M+m)/4π^2なので、1/2T=1/2√(4π^2・a^3/G(M+m))=π√(a^3/G(M+m))となります。
万有引力定数Gは消せませんね・・・数値を覚えておくか、問題の冒頭などに「万有引力定数は6.673×10^-11とする」のように書かれていると思うのでそれを代入します。

補足

回答ありがとうございます。
質問にもあるように振幅の次元は速度の次元で時間ではないように思うのですが。
回答のようにグラフを書いた場合も、振幅は関数の極大(または極小)になるので速度次元になってしまいます。
ですので、周期が振幅とはならないと思います。