この物理の問題を教えてください。

質問

太陽から50 天文単位の距離に円軌道を描く惑星が存在したとして、その惑星の公転周期を二つの方法で
計算せよ。
(1) 太陽質量=2.0×1030 kg、1 天文単位＝1.5×1011 m として運動方程式から直接計算する。
(2) 地球の公転周期が1 年であることを利用して、ケプラーの法則を用いて計算する。
回答よろしくお願いします。

回答No.1

SKJAXN · ベストアンサー

(1) M=2.0*1030[kg]、R=50[天文単位]=50*1.5*1011[m]、惑星の質量をm、万有引力定数をGとおきます。惑星は、太陽系の中心方向に加速度aを持ちますので、その運動方程式は、
ma=G*(m*M)/(R^2) →{1} [右辺は万有引力]

と書くことができます。式{1}を整理すると、
a=G*M/(R^2) →{2}

です。ここで惑星が円軌道を描いているため、惑星の角速度をωとすると、
a=R*ω^2 →{3}

の関係があります。さらに公転周期をTとおくと1周するとT秒かかるので、
ω*T=2π →{4}

の関係があります。式{3}、{4}からωを消去すると、a=R*(2π/T)^2であり、これを式{2}に代入すると、
R*(2π/T)^2=G*M/(R^2)⇔T^2=((2π)^2)*(R^3)/(G*M) →{5}

両辺の平方根をとると、T=2π*√((R^3)/(G*M))となり、後は数値を入れれば答えです。

(2) 式{5}を変形すると、
(T^2)/(R^3)=((2π)^2)/(G*M) →{6}

となり、式{6}の右辺は定数になります。これがケプラーの法則で、公転周期Tの2乗と太陽からの距離の3乗は比例関係にあります。
地球の公転周期をTo=365*24*60*60秒、地球と太陽の距離をRo=1[天文単位]=1.5*1011[m]とすると、式{6}より、
(T^2)/(R^3)=(To^2)/(Ro^3)⇔T^2=(To^2)*(R^3)/(Ro^3) →{7}

両辺の平方根をとると、T=To*√((R/Ro)^3)となり、後は数値を入れれば答えです。

いかがでしょう？

お礼

ありがとうございました。
とても参考になりました。