連星系 2 体問題について

質問

超新星爆発を経験し、質量の大部分を排出した連星系を考える。このとき、質量は軌道周期よりも非常に短い時間で失われたとする。円軌道を仮定して、連星系が保たれるのに必要な排出質量の割合の条件を求めよ。また、楕円軌道ではどうなるか。
という問題で、答えは円軌道の場合は Mt'/Mt < 1/2 (Mは系全体の質量) となるそうなのですが、楕円軌道の場合も同じようになると思います。
円軌道の場合は質量損失直後で速度、連星間距離が変わらないとして、質量損失後の系のエネルギー保存則、

-GMt'μ'/(2a')=1/2 μ' v^2 - GMt'μ'/a -----(1)
(G:万有引力定数、Mt':質量損失後の系全体の質量、μ': 質量損失後の換算質量、a': 質量損失後の軌道半径、a: 質量損失前の軌道半径、v^2=GMt/a: 質量損失前の速度の 2 乗)

から円軌道を描くためには a' が有限でなければならない、つまり a' → 無限大 , (1) の左辺 → 0 であってはならないということを用いて、(1) の右辺が 0 より大きいとして Mt'/Mt <1/2 を導きました。

楕円軌道の場合は、a'、a を楕円の長軸に読み替えて同じようにするのではだめなのでしょうか。

以前同じ質問をここでさせていただきましたが、また疑問が湧いたため質問させていただきました。お手数ですが、どなたか回答いただけないでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.1

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大元の(1)式が妥当かは別として、...

楕円軌道ということは、質量損失直前の速度 v は一定ではないですよね。　軌道のどこにいるかによって異なる。それは考慮しなくてよいのですか？

ちなみに、私自身は答えを知りません。楕円軌道の場合も、「運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの総和は一定だからうまいこと消しあって最終結果では位置に無関係」となるような予感はありますが....

お礼

なるほど考えてみます。
ありがとうございました。