惑星

質問

質量mの惑星の位置ベクトルrをxyz座標で表したとき、この惑星は、z=0、かつ、x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0) の楕円軌道を描いて質量Mの恒星のまわりを公転している。(M>>m)

(-a,0,0) (a,0,0) (0,b,0) における惑星の速さの比を求めよ。

ケプラーの法則を使うと思うのですがよくわかりません。
詳しい解説お願いします。

回答No.2

NemurinekoNya · ベストアンサー

面積速度が一定というやつを使って求めます。
たぶん、前の問題の続きの問題だと思うので、
近日点（焦点）を(-√(a^2-b^2),0)とします。

(-a,0)のときの速さをv1,(a,0)のときの速さをv2、(0,b)の時の速さをv3とします。
面積速度は角運動量の大きさの半分、
　面積速度 = (角運動量の大きさ)/2
　角運動量の大きさ = 回転（焦点）の中心からの距離×速さ×|sinθ|
θは、回転の中心と質点を結ぶ直線と速度ベクトルのなす角度。

(-a,0)と(a,0)の時は、θ=π/2と考えればいいので、sinθ = sin(π/2) = 1。
すると、それぞれの面積速度は
　面積速度 = (1/2)・(a-√(a^2-b^2)・v1
　面積速度 = (1/2)・(a+√(a^2-b^2)・v2
よって、
　(a-√(a^2-b^2)・v1 = (a+√(a^2-b^2)・v2
　v2/v1 = (a-√(a^2-b^2)/(a+√(a^2-b^2)
となる。

遠日点での速さは、近日点の速さよりも遅い！！

それで、(-√(a^2-b^2,0)と(0,b)との距離は、a。
三平方の定理を使うと、
　(-√(a^2-b^2))^2 + b^2 = a^2
となるので。
(0,b)における速度は、x軸と平行。
ですから、
　sinθ = b/a
となる。よって、面積速度は
　面積速度 = (1/2)a・v3・sinθ = (1/2)a・v3・b/a = (1/2)・bv3
となる。
だから、
　(a-√(a^2-b^2)・v1 = (1/2)・bv3
　v3/v1 = (a-√(a^2-b^2)/b
かな。

わたしは計算が苦手なので、計算を間違っているかもしれない。
あくまで、考え方のみを参考にしてください。

お礼

(-a,0)と(a,0)の時は、θ=π/2と考えればいい
なぜですか？

回答No.4

NemurinekoNya

面積速度は、
「惑星と太陽とを結ぶ線分が単位時間に描く面積」
なんですよ。
面積なので、負の値を取りません。

v2は速さ（v2≧0）ですから、
　-(1/2)・(a-√(a^2-b^2)・v2
ですと、
負の値になってしまいます。

速度は正負、そして、ゼロの値を取りますが、
速さはゼロ以上です。

お礼

詳しい解説ありがとうございます。

回答No.3

NemurinekoNya

(-a,0)と(a,0)のとき、速度はy軸と平行だから。
楕円を書いて、(-a,0)と(a,0)の接線を書いてごらん。
そうすると分かる。

あるいは、
(-a,0)という点に向かって時計回りに回転しているとすると、
このときのx方向の速度成分はマイナス、
(-a,0)を過ぎると、x方向の速度成分はプラス。
ですから、
(-a,0)の時のx方向の速度はゼロでなければいけない。
ということで、(-a,0)の所での速度は、y軸と平行。
焦点と(-a,0)はx軸上にあるので、速度とは直交していることになります。
(a,0)のときも同様に考えればいい。プラス・マイナスが逆になるけれどね。

お礼

面積速度 = (1/2)・(a-√(a^2-b^2)・v1
面積速度 = (1/2)・(a+√(a^2-b^2)・v2
なぜこうなるのですか？

角運動量の大きさ = 回転（焦点）の中心からの距離×速さ×|sinθ|
となるならば、-(1/2)・(a-√(a^2-b^2)・v2
となるのでは？

回答No.1

ybnormal

aとbそれぞれでの速度をVa, Vbとすると、ある非常に短い時間Δtに惑星が移動する距離は、aではVa*Δt,bではVb*Δtとなる。時間Δtが経過する間に、a,bそれぞれへの半径がカバーする面積はVa*Δt*a, Vb*Δt*b。
ケプラーの法則から面積速度は一定だから、
Va*Δt*a = Vb*Δt*b

Va/Vb = b/a

お礼

詳しい解説ありがとうございます。