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微分方程式で、y=u・exp(-ax)とやるのって
y''+ay'=…の形の微分方程式を解くときに y=u・exp(-ax)と置きますが、一般性を失わないのでしょうか? 見れば明らかなのかもしれませんが、 解がy=ax+bだったりy=exp(-ax)+bだったりする可能性を 最初から捨ててしまっているようで、疑問を感じます。 y=ax+bのときは、u=(ax+b)exp(ax)が出るから大丈夫 ということなんでしょうか?
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そうです y"+a・y'=f(x)・・・（１） を求めるのに 任意の非零関数g(x)を使って y=g(x)・u とおいても問題ない このとき g(x)・u"+(2(x)・g'(x)+a・g(x))・u'+(g"(x)+a・g'(x))・u=f(x)・・・（２） となるが もし（１）の解がh(x)だとすると（２）の解が u=h(x)/g(x) となるだけのことです y=g(x)・u は任意の関数を表現できるので問題無し g(x)は一時的に0になるだけならば非零である必要もない 例えばg(x)=xとできる しかしこの場合実質1階微分法方程式なのだから y=exp(-a・x)・u とおくのでなく y'=exp(-a・x)・u とおいた方がよいでしょう
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- Knotopolog
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＞y''+ay'=…の形の微分方程式を解くときに ＞y=u・exp(-ax)と置きますが、一般性を失わないのでしょうか? 微分方程式を解く場合，始めから「一般性」という事は，あまり念頭におきません． 求積法で解く微分方程式の解には，「特殊解」「特異解」「一般解」などがありますから，これらの解を得るためなら「何んでも有り」です．つまり，解を得るためならば手段を問いません．「一般性」もくそもないのです． y＝u・exp(－ax)と置くのも，うまく解けるために，これを使うだけです．「一般性」が云々・・・ と言うことは普通，考えません． 今の場合は，２階線形常微分方程式を扱っていますから，積分定数を２個含む一般解が得られれば，それで終わりです． 或る常微分方程式が与えられたなら，一般解を得ることが最終目的となります．この，一般解を得るということが「一般性」に通ずると言えるかも知れません．
補足
回答ありがとうございます。 方程式の解を求めるというのは、 方程式を成り立たせるものを求めることと 他のいかなるものも成り立たないことを示すことだと思うのですが 特殊解が出た後、一般解が存在しないような場合 それをどうやって調べるのでしょうか?
補足
回答ありがとうございます。 最初の式で間違えました。 y'+ay=… でした。 慣れている方は、見れば明らかなのかもしれませんが この手の参考書に書かれている答案は 高校の時のような蟻の出る隙間も無い説明ではないように思えて、 なかなか理解に苦しみます。 この場合も「とおく」ではなく「とおいても一般性を失わない」とでも 書いておいてくれれば丁寧なんですけど。