新古典派の第二公準

質問

貨幣賃金率:W　労働時間:L　最大利用可能時間:T
I=WL , L+T=T
効用関数u=u(WL,T-L)
du/dL=∂u/∂(WL)・d(WL)/dL+∂u/∂(T-L)・d(WL)/dL

∂とdをどうやって使い分けているのですか？
また、du/dLの計算はどうやってやったのですか？
教えてください！

回答No.2

indigobluet

微分（この場合全微分）は全変数に対する微分を言います。一変数関数なら当然一つの変数に対する微分、多変数関数なら変数全体に対する微分です。
一方偏微分とは多変数関数の一つの変数に対する微分を言います。
Lは変数なのでWLとT-Lは変数でありu(WL,T-L)は多変数関数ですが、WとTは定数と見なしているのでWLやT-Lは一変数関数です。
よって「WLの偏微分」や「T-Lの偏微分」と言うことはありません。

かけあわせる理由は式にそう書いてあるからというのが端的な答えです。
敢えて理由を書くならば、全微分は偏微分の合計、つまり「(T-L)を定数と見たときの関数の微分と(WL)を定数と見たときの関数の微分の合計」で示されます。
つまりu1(WL)とu2(T-L)の微分を足しあわせたものであり、WL=f(L)、T-L=g(L)と置けば、u1{f(L)}とu2{g(L)}の微分を足せばいいということになります。
つまり合成関数の微分なので、公式にしたがうとそれぞれdu1/df・df/dLとdu2/dg・dg/dLを得ます。これが掛け算の理由です。
またそれらを足しあわせたものが与式にあたり、uの全微分にあたることが分かると思います。

回答No.1

indigobluet

dは微分（全微分）、∂は偏微分のときに使います。
つまりdu/dL、つまり関数uの全微分はこの式を読み解くと、
関数uをWLで偏微分したものとWLをLで微分したものをかけあわせ、関数uをT-Lで偏微分したものとT-LをLで微分したものをかけあわせ、お互いを足し合わせる
となります。

お礼

ありがとうございます！
また質問なんですが、この式で偏微分と微分はどうやって使いわけているのですか？
そして、何でかけあわせるのですか？