最適労働供給量についての問題で質問があります

質問

以下の問題で質問がありますのでお願いします。

「家計の効用が、所得Ｍと余暇ｈから得られるものとし、効用関数がＵ＝ｈＭで表されます。ここで１日２４時間のうち、労働時間をＬとし、残りを睡眠時間も含めて余暇時間ｈとします。このとき、賃金が１時間当たり600円とすると、1日の最適な労働時間における賃金はいくらになりますか。」

１ 3200円
２ 4800円
３ 5200円
４ 6500円
５ 7200円

解説には、予算制約式Ｍ＝６００×（２４－ｈ）を効用関数に代入して、微分して０とおくとあります。なぜ予算制約式を効用関数に代入するのでしょうか？解説にはＵＲＬ（下）の２つの図が載っていたのですが、無差別曲線と予算制約式は効用関数と何が関係あるのでしょうか？２つ目の山なりの曲線もどういう意味なのかが、わかりません。また、微分して０と置くのは、なぜなのでしょうか？ちなみに答えは５番になります。よろしくお願いします。

http://proxy.f3.ymdb.yahoofs.jp/bc/4808ca49_6239/bc/DSCF1108.jpg?BCrDNCIBA1RwMNHw

http://proxy.f3.ymdb.yahoofs.jp/bc/4808ca49_6239/bc/DSCF1110.jpg?BCrDNCIBhbhDSHlo

回答No.1

at9_am

予算制約式
M = 600(24 - h)
は良いですよね。働いた分だけ給料を貰って消費する、ということですから、つまり、働いた時間が決まれば消費量が決まります。これらは1対1の関係になりますから、変数を一つにまとめた方が計算が簡単になります。

予算制約線上のどの点であっても実行可能です。つまり、1時間だけ働いて、600円分の消費と23時間の余暇時間をもつのも、10時間働いて6000円分の消費と14時間の余暇時間をもつのも、20時間働いて12000円分の消費と4時間の余暇時間をもつのも、どれも可能です。

このような点に対して、無差別曲線と予算制約線の関係は、交わるか接するかのどちらかしかありません。しかし、交わっている場合は実行可能で更に効用水準の高い点が存在します（厳密に言うと内点解を仮定する必要がありますが、あんまり気にしなくて良いです）。したがって、実行可能で更に効用水準の高い点が存在しない点は、無差別曲線と予算制約線が接する点ということになります。接する条件は、代入して微分して０になることです。因みに、微分して０、というのは最大化・最小化の定石です。

一応、微分を使わないで問題を解くと、

max u = Mh ←効用関数を最大化するよ
s.t. M = 600(24-h)　←条件は、予算制約だよ
を解いて、
u = 600(24-h)h
= -600(h-12)^2 + C　←C は h に関係のない定数なので、最大化には関係ないから計算しなくてOK。

から、最大化されるのは h = 12 のときだから、M = 12×600 = 7200 と解けます。

お礼

ありがとうございました。