数３の問題！

質問

y=x^(1/x)を対数微分法を使って解答してください。
当方、文系なので途中式も詳しく書いてもらえると助かります。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

「y=x^(1/x)を対数微分法を使って解答してください。」
ではなく
「y=x^(1/x)を対数微分法を使って微分してください。」
ではないのですか？

両辺の対数を取ると、
logｙ　＝　logｘ^(1/x)
logｙ　＝　１／ｘ・logｘ

ｄlogｙ／ｄｘ　＝　（１／ｘ・logｘ）’
積の微分により右辺を微分すると、
（１／ｘ）’・logｘ　＋　１／ｘ・（logｘ）’
　＝　－１／ｘ^2・logｘ　＋　１／ｘ・１／ｘ
　＝　－１／ｘ^2・logｘ　＋　１／ｘ^2
　＝　（１　－　logｘ）／ｘ^2

左辺は、ｔ＝logｙ　と置くと、ｄｔ／ｄｙ　＝　１／ｙ　なので
ｄlogｙ／ｄｘ　＝　ｄｔ／ｄｘ
　＝　（ｄｙ・１／ｙ）／ｄｘ
　＝　ｄｙ／ｄｘ・１／ｙ

よって、左辺＝右辺　より
ｄｙ／ｄｘ・１／ｙ　＝　（１　－　logｘ）／ｘ^2

こたえ　＝　ｄｙ／ｄｘ
　＝　ｙ（１　－　logｘ）／ｘ^2
　＝　ｘ^(1/x)（１　－　logｘ）／ｘ^2
　＝　ｘ^(1/x - 2)（１　－　logｘ）