数３の問題！

質問

「f(x)=|x^3|はx=0で連続か。また、x=0で微分可能かを定義に従って調べよ」の解答をお願いします。
当方、文系なので途中式も詳しく書いてもらえると助かります。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

ｘ＜０　のとき　ｆ（ｘ）＝－ｘ^3　　ｆ’（ｘ）＝　－３ｘ^2
ｘ＞０　のとき　ｆ（ｘ）＝ｘ^3　　ｆ’（ｘ）＝　３ｘ^2

まず、
ｆ（ｘ）の、ｘ＝０　への左からの極限値と右からの極限値を比べます。
左から　lim[x⇒-0]ｆ（ｘ）　＝　lim[x⇒-0]－ｘ^3　＝　０
右から　lim[x⇒+0]ｆ（ｘ）　＝　lim[x⇒-0]ｘ^3　＝　０
どちらも、０　です。
ですから、ｆ（ｘ）は　ｘ＝０　で連続です。

次に、
ｆ’（ｘ）の、ｘ＝０　への左からの極限値と右からの極限値を比べます。
左から　lim[x⇒-0]ｆ’（ｘ）　＝　lim[x⇒-0]－３ｘ^2　＝　０
右から　lim[x⇒+0]ｆ’（ｘ）　＝　lim[x⇒-0]３ｘ^2　＝　０
どちらも０で一致しています。
ですから、ｘ＝０　でｆ（ｘ）は微分可能であり連続です。

これ、式だけで考えるだけでなく、グラフを描いてみるとよいです。
ｙ＝ｘ^3　のグラフは　ｙ＝ｘ^2　のグラフと傾きや曲がり具合が異なるだけで、見た感じの形状は同じです。
ｘ＝０　のところで滑らかに最小値　ｆ（０）＝０　を取ることがわかります。
そういうイメージを頭の中で描けると、解くのも苦痛にならなくなります。