お世話になります。

質問

お世話になります。

y=x^(x+1)-1を微分する方法をどなたかご教授していただけるでしょうか?
参考書でy=x^(x+1)なら対数微分法を用いれば良いことはわかったのですが、
多項式なのでどう処理すればよいのかわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.5

jamf0421 · ベストアンサー

>微分する前に対数をとらなければならないのに
>1を無視できることがあまり納得いきません。

1を無視というのではないのです。そもそも対数をとってはおりません。（No2さんの説明の繰り返しですが）まず微分するのです。すると
dy/dt=d(x^(x+1)-1)/dt=d(x^(x+1))/dt-d(1)/dt
ですが、右辺第二項は定数の微分ですからゼロです。よって
dy/dt=d(x^(x+1))/dt
となります。その結果要するにx^(x+1)を微分するのと同じことになります。それからはx^(x+1)を微分するにはどうするか考えればよいのです。これはすでに質問者さんが解いているはずです。

お礼

やっと理解できました。
何度も回答してくださって本当にありがとうございました。

回答No.4

alice_44

対数微分とか、奇妙な芸を見せようとしないで、
極普通に計算しましょうよ。

y = u~v - 1,
u = x,
v = x + 1
から、合成関数の微分を使って、
dy/dx = (∂y/∂u)(du/dx) + (∂y/∂v)(dv/dx)
です。

u,v は、特に名前を付けなくても、
暗算でカタマリと見なせばよい。
瞬殺です。

お礼

なるほど、参考書の解法に縛られていました。
そのように普通に計算することも出来るのですね。

ただ、高校数学の段階では偏微分を習わないため、
そのような変形を回答に書くことは出来ません。

しかしながら非常に参考になりました。ありがとうございました。

回答No.3

jamf0421

>y(1+1/y)=x^(x+1)　と変形して計算すると、複雑な形になり、正答にはな
>りませんでした。

y+1=x^(x+1)
より
ln(1+y)=(x+1)lnx
両辺をxで微分して
{1/(1+y)}{d(y+1)/dx}=lnx+(x+1)/x
dy/dx=(y+1)(lnx+1+1/x)=x^(x+1)(lnx+1+1/x)

つまりこのやり方でもできるのですが、No2さんのご指摘のやりかたと同じ結果になります。No2さんはf(x)の微分とf(x)+定数の微分は同じものになることを言われています。No2さんの方が当を得たアドバイスです。

お礼

ありがとうございます。

No2さんのところにも書きましたが、微分する前に対数をとらなければならないのに
1を無視できることがあまり納得いきません。

f(x)の微分とf(x)+定数の微分が同じものになる、というルールの方が先に適応されるのでしょうか?

回答No.2

f272

y=x^(x+1)-1
であっても
dy/dx=d(x^(x+1))/dx-d(1)/dx
だから
d(1)/dx=0
に注意すれば
dy/dx=d(x^(x+1))/dx
です。

お礼

ありがとうございます。

たしかに、-1を無視してy=x^(x+1)の微分を計算すると正答となりました
(対数微分法において途中で両辺にかけるyもx^(x+1)としました)。
しかし、なぜ微分する前に対数をとるときに1を無視できるのかがわかりません。

どなたかご教授ください。よろしくお願いします。

回答No.1

jamf0421

y+1=x^(x+1)として両辺の対数をとってできませんか？

お礼

一度その方法も試してみたのですが、対数をとるために
y(1+1/y)=x^(x+1)　と変形して計算すると、
複雑な形になり、正答にはなりませんでした。

ただの計算ミスかもしれませんのでもう1度計算してみます。
回答ありがとうございました。