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お世話になります。
お世話になります。 y=x^(x+1)-1を微分する方法をどなたかご教授していただけるでしょうか? 参考書でy=x^(x+1)なら対数微分法を用いれば良いことはわかったのですが、 多項式なのでどう処理すればよいのかわかりません。 よろしくお願いします。
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>微分する前に対数をとらなければならないのに >1を無視できることがあまり納得いきません。 1を無視というのではないのです。そもそも対数をとってはおりません。(No2さんの説明の繰り返しですが)まず微分するのです。すると dy/dt=d(x^(x+1)-1)/dt=d(x^(x+1))/dt-d(1)/dt ですが、右辺第二項は定数の微分ですからゼロです。よって dy/dt=d(x^(x+1))/dt となります。その結果要するにx^(x+1)を微分するのと同じことになります。それからはx^(x+1)を微分するにはどうするか考えればよいのです。これはすでに質問者さんが解いているはずです。
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- alice_44
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対数微分とか、奇妙な芸を見せようとしないで、 極普通に計算しましょうよ。 y = u~v - 1, u = x, v = x + 1 から、合成関数の微分を使って、 dy/dx = (∂y/∂u)(du/dx) + (∂y/∂v)(dv/dx) です。 u,v は、特に名前を付けなくても、 暗算でカタマリと見なせばよい。 瞬殺です。
お礼
なるほど、参考書の解法に縛られていました。 そのように普通に計算することも出来るのですね。 ただ、高校数学の段階では偏微分を習わないため、 そのような変形を回答に書くことは出来ません。 しかしながら非常に参考になりました。ありがとうございました。
- jamf0421
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>y(1+1/y)=x^(x+1) と変形して計算すると、複雑な形になり、正答にはな >りませんでした。 y+1=x^(x+1) より ln(1+y)=(x+1)lnx 両辺をxで微分して {1/(1+y)}{d(y+1)/dx}=lnx+(x+1)/x dy/dx=(y+1)(lnx+1+1/x)=x^(x+1)(lnx+1+1/x) つまりこのやり方でもできるのですが、No2さんのご指摘のやりかたと同じ結果になります。No2さんはf(x)の微分とf(x)+定数の微分は同じものになることを言われています。No2さんの方が当を得たアドバイスです。
お礼
ありがとうございます。 No2さんのところにも書きましたが、微分する前に対数をとらなければならないのに 1を無視できることがあまり納得いきません。 f(x)の微分とf(x)+定数の微分が同じものになる、というルールの方が先に適応されるのでしょうか?
- f272
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y=x^(x+1)-1 であっても dy/dx=d(x^(x+1))/dx-d(1)/dx だから d(1)/dx=0 に注意すれば dy/dx=d(x^(x+1))/dx です。
お礼
ありがとうございます。 たしかに、-1を無視してy=x^(x+1)の微分を計算すると正答となりました (対数微分法において途中で両辺にかけるyもx^(x+1)としました)。 しかし、なぜ微分する前に対数をとるときに1を無視できるのかがわかりません。 どなたかご教授ください。よろしくお願いします。
- jamf0421
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y+1=x^(x+1)として両辺の対数をとってできませんか?
お礼
一度その方法も試してみたのですが、対数をとるために y(1+1/y)=x^(x+1) と変形して計算すると、 複雑な形になり、正答にはなりませんでした。 ただの計算ミスかもしれませんのでもう1度計算してみます。 回答ありがとうございました。
お礼
やっと理解できました。 何度も回答してくださって本当にありがとうございました。