微分の教科書問題が解けないでいます・・・

質問

こんばんは。
今、微分の問題で解けない問題があるのでここで質問させてもらいます。

1辺の長さが5ｃｍの立方体がある。　毎秒2ｃｍの割合で辺の長さが大きくなっていくとき
次の問いに答えよ。

　　（後ろにくっついている数字、3や2などは累乗です）
　　(1) t秒後の立方体の体積V cm3、表面積S cm2を、それぞれtを用いて表せ。
　　これの解は　V = (2t+5)3 S = 6(2t+5)2　で分かるのですが次の問題で

(2) 4秒後のＶとＳの変化率を、それぞれ求めよ。
とあるので自分は微分係数を用いて
V = { (13)3 - (5)3 } / 4 - 0 = 518 とでたのですが、解答は V = 1014cm3/毎秒でした。
なぜこうなるのかどうしても分かりません。　どうかご教授ください。

回答No.2

fef · ベストアンサー

定義を用いて計算する場合は，定義とよく見比べながら進めるようにしましょう．
dotneerさんが書かれた計算式は，微分係数の定義式と対応づいていません．
「本問において微分係数の定義式の f や a に当たるのは何か？」をよく考え，定義に忠実に計算式を書きましょう．

本問の場合，dotneerさん自身が書かれた微分係数の定義
　f'(a) = lim_{h -> 0} (f(a+h) - f(a)) / h
における f は
　V(t) = (2t + 5)^3　　‥‥‥(*)
で，a は 4 ですね．
したがって，計算すべきは
　lim_{h -> 0} (V(4+h) - V(4)) / h
という極限です．
この式の V に表式(*)を代入して，
　lim_{h -> 0} (V(4+h) - V(4)) / h
　= lim_{h -> 0} ((2*(4+h) + 5)^3 - (2*4 + 5)^3) / h
　= lim_{h -> 0} ((13 + 2h)^3 - 13^3) / h.
この極限を，不定形の解消により，計算していけばよいのです．

お礼

解答ありがとうございます。
教科書の問いをよくみると変化率を求めよとあり、前のページでちゃんと
f(x)の X = a における微分係数、あるいは変化率という。　と説明されていました。　
　　質問者様のやり方でやったら問題が解けました。
　　ご教授ありがとうございます。

補足

まず整理すると
自分が考えた計算はまず0秒後から4秒後までの間の平均変化率と考え、
　　　　　　　　lim_{ h->0 } (V(4) - V(0)) / 4 - 1 というのは微分係数ではなく
　　　　　　　　平均変化率の定義　f(b) - f(a) / b -a
これを当てはめて出した答え＝ Ｖの平均変化率
であって微分係数ではありませんでした。
ｈを0に限け、4秒後の極限値を求める　平均変化率の極限値で求めるもので
あって平均変化率で求めるものでないですね。
ここが自分が間違っていた部分だと思っています。

回答No.1

Tacosan

「微分係数を用いて」って書いてるくせに微分係数を使ってないのはなぜだろう.

お礼

分かりにくかったと思いますが
＞V = { (13)3 - (5)3 } / 4 - 0 = 518
この式は、微分係数ｆ'(a) = lim f(a+h) - f(a) / h を用いて計算してみたんですが
どこかしら間違っていたでしょうか？

補足

ＰＣで分母を表すのが難しかったです。
分かりづらくてすみません。