体積を微分すると・・・

質問

球の体積を微分すると表面積になるが、立方体の体積では？のようなことが話題になっているホームページを知っている方いませんでしょうか？どうなるかはわかっているのですが、その理由（公式や定理、または原理）がわからないので知りたいのですが。

回答No.1

redbean · ベストアンサー

ホームページは知りませんが、直感的なレベルで説明できますよ。

１．球の場合

半径 r の球を考えます。
半径 r を任意に固定し、そこからΔr だけ半径が大きくなった場合の
体積の増分を ΔV と置きます。
Δr を限りなく小さなものと考えると、体積の増分は次のようになります。
ΔV = Δr × 半径 r の球の表面積

体積 V を 半径 r の関数 V(r) と考えたとき、この微分は、上式を使って
ΔV / Δr = 半径 r の球の表面積
となります。
よって球の場合以下の関係になります。
「体積の微分＝表面積」

２．立方体の場合

１辺が r の立方体を考え、球のときと同様の考え方をします。
立方体を部屋の隅においてΔr だけすべての辺を大きくするとします。
体積の増分は、
ΔV = Δr × (１辺 r の立方体の表面積 / 2 )
表面積が半分になるのは床と壁に接触する３面が増分に寄与しないからです。

以上から立方体の場合は以下の関係になります。
「体積の微分＝表面積／２」

お礼

ありがとうございました。大変わかりやすい説明でした。