この問題の解き方を教えて下さい（微分）

質問

「外灯が地上の高さ6mの所にある。身長168cmの人が外灯の方向に毎秒1.5mの速さで歩いているとき、その人の影の先端は地上をいくらの速さで動いているか。」という問題です。

時刻tにおける影の位置xをtの式で表して、その式を微分すれば速度を求める式が出ると思うんですが、tの式の立て方がよく分かりません。

考え方、ヒント、何でもいいので教えて下さい。よろしくお願いします。

回答No.2

itochanda · ベストアンサー

まず、街灯の真下に来た時を t＝0 、 L=0 とします。
t＝0 では、立ち位置 L＝0 、影の先端までの距離 ls＝0ですよね。
立ち位置が L＝1.5t まできたとき、図を見て影の先端までの距離 ls をあらわすtの式を立てます（影の長さではありません）。

　　　　＿＿H（街灯）
｜＼
｜　＼　＿＿h（人）　
｜　｜＼
－－－－－
０　 L　ls

H：h ＝ ls：（ls－L）　です。

lsがtの式になってしまえば後はお分かりですね。

お礼

回答ありがとうございます！
回答頂いた通りに計算してみました。
6：1.68＝ls:（ls－1.5t)
1.68ls＝6ls－9t
4.32ls＝9t
∴ls＝25/12t　（影の位置）
そしてこれを微分して、影の速度＝25/12 m/sとなるわけですね。
解けました！ありがとうございます！！
これは学校で使っている問題集の問題なのですが、その解答と同じなのでこれで正解ですね。しかし少し疑問があります。
補足欄に書くので、もしよろしければ再度回答をお願いします。

補足

あ、ごめんなさい。お礼を書いたあとに自己解決してしまいました。
私が疑問だったところは、この問題だと離れたところから街灯に向かって歩いているのに、
勝手に街灯の下からスタートしたと考えて良かったのかという点でした。
…よく考えたら行く時も帰るときも歩く速度が同じなら影の速度も同じなんですね。

このことに気づけなかったのがこの問題が分からなかった原因ですね。
スタート点と影の位置との関係が分からなくて悩んでいました。
今度からは頭をもっと柔らかくして考えたいと思います。
本当に助かりました。ありがとうございました！

回答No.1

hinebot

図を描いて見ましょう。

街灯のてっぺん、人の頭、影の先端等を頂点にして、相似な直角三角形ができるはずです。
スタート地点における、街灯と人との距離をLとおいて、t秒後の影の位置を考えてください。
（相似比を使います）

お礼

回答ありがとうございます！
せっかく教えてもらっておいて申し訳ないんですが、いまいち理解が出来ませんでした。
こうすれば良いんだということは分かるのですが、そこからどうすればt秒後の影の位置が出せるのかが分かりません。
もしよろしければ補足に答えて下さいますようお願いします。m(_ _)m

補足

一昨日からずっと図とにらめっこしてt秒後の影の位置を考えています…。
はい、確かに相似の直角三角形が2つあります。
この2つの三角形の比を考えると　
6：1.68＝L+人から影までの距離：人から影までの距離　でしょうか？
…自分でLの使いどころが間違っている気がしてなりません。
スタート地点（t=0）の時の影の位置はどのように出せば良いのでしょうか？