スピン演算子への変形。

質問

ハバードモデルで二次摂動を求める時に

生成消滅演算子

c_｛1↑｝＾†c{2↓}＾†-c_｛1↓｝＾†c{2↑}＾†

を

(２Ｓ_1・Ｓ_２-1/2）・c_｛1↑｝＾†c{2↓}＾†

Ｓ_1、Ｓ_２はスピンの大きさを表す演算子

へと変形したいのですがうまく行きません。式変形の過程を教えてください。

回答No.2

eatern27

一般にはN個のサイトがある場合、スピンの自由度も含めて2^(2N)個の独立な状態が存在します。
#1で書いたのは、少なくともこの2^(2N)次元の空間で考えると、演算子が等しくないという事です。

しかし、この2^(2N)次元の空間全体を考えるのではなく、特定の部分空間でしか考えない事があります。(その方が多いかも)
その場合にはその部分空間内で演算子が等しく見える場合には、2つの演算子を等号を結ぶような事もあるでしょう。そういう意味で等号で結んでいるのならその教科書が間違いだという事にはなりませんが、文脈が分からないので実際にそういう意味であるかどうかは何とも言えません。

回答No.1

eatern27

2次摂動を考えているのだったら、その2つの演算子が等しいという文脈ではないのでは？確認してみて下さい。

|0>を真空状態として、|ψ>=c_{2↓}^†|0>にその2つの演算子を作用させた結果を考えるとかすれば分かるはずですが、その2つの演算子は等しくありません。

補足

う～ん。完全に等式で繋がってるんでから等しいはずだとおもうのですけど・・。教科書の間違えってことも・・・あるのかなあ？