スピン演算子の第二量子化

質問

すいません、お世話になります。

スピンの上昇下降演算子S^{+-}ってありますよね？
第二量子化を行うとどうなりますか？

特別な場合としては、スピンが1/2スピンの集合の時には、
粒子の番号iを用いて、
S^+ = Σ_i c^†_{i↑} c_{i↓}
S^- = Σ_i c^†_{i↓} c_{i↑}
でよいと思います。

知りたいのは、一般のスピンの場合です。

例えば、粒子のスピンが|S=1,m_S=1>に作用させると、
下降演算子S^-を作用させると、
S^-|S=1,m_S=1>
= \hbar √(S + m_S)(S - m_S + 1)|S=1,m_S=0>
= \hbar √2|S=1,m_S=0>

分かっていますよね。これをcを用いて表すと、
どうなるのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

大学で物理の研究と教育をやっている siegmund です．

おっしゃるとおり S=1/2 に対しては
S^+ = Σ_i c^†_{i↑} c_{i↓}
S^- = Σ_i c^†_{i↓} c_{i↑}
ですね．
式も注意深く書かれて，見やすいし誤解のおそれもありません．
LaTeX お使いのようですから当然ですかね(偉そうに聞こえましたら失礼)．
念のため
S^z = (1/2)Σ_i (c^†_{i↑} c_{i↑} - c^†_{i↓} c_{i↓})
で，c^† と c は それぞれフェルミオンの生成と消滅の演算子．

さて，S>1/2 に対してですが，上のような(あるいは簡単に拡張した)表式は存在しません．
パウリ原理によりフェルミオン個数は０か１に限定されていますので，
例えば S=1 は表現できないのです．

それならばフェルミオンを２種類持ってくればいいのではないか？
確かにそうですが，それは S=1/2 を２個持ってきて S=1 を表すことになります．
そうすると，角運動量合成により S=1/2 が２個からは
S=1 で S^z = +1,0,-1 および S=0 の状態が生成されます．
波動関数で言えば，順に
|↑↑>，(1/√2)(|↑↓> + |↓↑>)，|↓↓>，(1/√2)(|↑↓> - |↓↑>)
で，最初の３つがいわゆる３重項状態(triplet)，最後が１重項状態(singlet)です．
したがって，単にフェルミオンを２種類持ってくると S=1 より余分な状態
(つまり S=0 状態，あるいは singlet 状態)が入ってきてしまいます．
これを取り除くように拘束条件を付ければよいのですが，
その拘束条件は各スピン毎に必要で(こういうのを局所的拘束条件といいます)，
具体的問題が与えられたときに取り扱いが非常に困難です．

以上のような事情で普通の教科書には S>1/2 のフェルミオン表現が書かれてないのです．
研究論文レベルではそういう試みもあります．

フェルミオンでなくてボソンを使えば１種類で済みますが，
ボソンだと個数が何個でも可能ですから，今度は個数が 2S 個以下という拘束条件
(各スピンに必要なのでまた局所的)が必要になります．
ボソンを使う方法だと，Holstein-Primakoff 変換，Dyson-Maleev 変換，Schwinger ボソン法，
などがあります．
また，１次元の S=1/2 スピン系に限ってはフェルミオンで表す方法(質問とは違った変換)として
Jordan-Wigner 変換があります．

お礼

おお、お褒めの言葉、そして、的確なご回答をありがとうございます^^。

やはりフェルミオンであるか、ボソンであるか、
を設定することを避けることはできないのですね。

そうですか、フェルミオンに対しては、
局所的拘束条件というものがあるのですか。
覚えておきます。

僕は、大学に残れず、趣味で物理をやっているのですが、
Holstein-Primakoff変換は、僕の修士の時の研究で、
スピン波に関して、ちょっと触れました。
なるほど、今見返してみたら、確かに自分の疑問に対する
解答になっています。

今回、siegmundさんに、物理の展望を広げて頂けて、感謝です。
本当にありがとうございましたm(_ _)m。