スピン演算子とフェルミ演算子

質問

各原子に電子が1個だけいる状態空間の中では、大きさ1/2のスピン演算子S_iと原子i上のスピンσの電子の生成・消滅演算子c_iσとの間に

1/2(c_iu^* c_iu - c_id^*c_id)=S_i^z …(1)
c_iu^* c_id = S_i^+ …(2)
c_id^* c_iu = S_i^- …(3)

(uはアップ、dはダウン,*はダガーを表しています。)

という関係式が成り立つらしいのですが、証明できません。
どなたか教えてください。

ちなみに斯波さんの「固体の電子論」で出てきました。ハバード模型の二次摂動エネルギーをスピン演算子で書き換えるという部分です。

回答No.2

wloop · ベストアンサー

もっとスマートな方法があるかもしれませんが…

電子の生成消滅演算子を
c_iu^*:=u*, c_iu:=u
c_id^*:=d*, c_id:=d
とします。

電子がiサイトにいない状態: 　　　 |0>
上向きスピンiサイトにいる状態: u*|0>:=|+>
下向きスピンiサイトにいる状態: d*|0>:=|->
とします。

今考えているのは、電子がiサイトに１個ある状態ですから
系の取りうる状態としては上に定義した|+>、|->。これらを
基底として（１）～（３）の演算子がどのような
行列表示を持つか見てみます。

（１）の場合：
<+|S_i^z|+>=1/2・<0|u(u*u-d*d)u*|0>=1/2
<+|S_i^z|->=1/2・<0|u(u*u-d*d)d*|0>=0
<-|S_i^z|+>=1/2・<0|d(u*u-d*d)u*|0>=0
<-|S_i^z|->=1/2・<0|d(u*u-d*d)d*|0>=-1/2
となり、S_i^zの行列表示は２×２の行列で対角成分は1/2と-1/2、
対角成分以外は０となります。これはスピン1/2のｚ成分の演算子
の行列表示と同じです。
（２）、（３）も同様に計算すると
S_i^+,S_i^-の行列表示ははそれぞれスピン1/2の昇降演算子の
行列表示に対応していることがわかります。

またS_i^z,S_i^+,S_i^-の交換関係を電子の生成消滅演算子の
反交換関係を使って直接計算しても、対応する角運動量の
交換関係が得られます。

お礼

詳しい解説ありがとうございます！
僕はてっきりJordan-Wigner変換のような変換から導かれるものだと思っていました。
すっきりしました！

回答No.3

wloop

スピン演算子をSU(2)の基本表現の生成子で表示してやると
少し手間が省けるかも？

iサイトの電子の生成消滅演算子をcα*,cαとし、
スピン変数αはup 又は downの値をとる。
以後ギリシャ文字α、β、δ、γ等はこのスピン変数をあらわす。
これらをつかってスピン演算子を

S^a：＝cα*・τ^a_(αβ)・cβ

で定義する（a＝x,y,z）。ここでα、βの添え字については和をとるものとし、
τ^aはパウリ行列σ^aを２で割ったもので、τ^a_(αβ)はその行列の
α行β列成分(ただし、行列成分を考えるときはup,downをそれぞれ1,2と
読み替える。)
このスピン演算子は質問のスピン演算子と同じもの。

系の取りうる状態は|α>:=cα*|0>であるのでスピン演算子の行列成分は
<α|S^a|β>=<0|cα・（cδ*・τ^a_(δγ)・cγ)・cβ*|0>
となり、生成消滅演算子の反交換関係を使うと

<α|S^a|β>=τ^a_(αβ)

とわかる。

お礼

お礼が遅れました。
解説ありがとうござます！参考にします。

回答No.1

eatern27

S^z|+>=(1/2)|+>
など、スピン演算子が満たすべき式が成り立つ事を確認するだけですね。

お礼

なるほど！ありがとうございます！