再度 ラプラス変換についてご質問

質問

（ｄ＾２ ｘ）/（ｄｔ＾２）＋４ｘ＝sint,ｘ（０）＝０,ｘ’（０）＝０をラプラス変換せよという問題です。
ｊは数学でいえばｉで虚数です。
ｓ＾２ Ｘ(ｓ)+４Ｘ(ｓ)=１/(ｓ＾２ +１)
Ｘ(ｓ) (ｓ＾２ +４)=１/(ｓ＾２ +１)
Ｘ(ｓ)=１/{(ｓ＾２ +１)(ｓ＾２ +４)}=１/{(ｓ+ｊ)(ｓ－ｊ)(ｓ+ｊ２)(ｓ－ｊ２)}=Ａ/(ｓ+ｊ)+Ｂ/(ｓ－ｊ)+Ｃ/(ｓ+ｊ２)+Ｄ/(ｓ－ｊ２)
Ａ=１/{(ｓ－ｊ)(ｓ+ｊ２)(ｓ－ｊ２)}｜ｓ＝－ｊ　＝－ｊ６
Ｂ=ｊ６
Ｃ=ｊ１２
Ｄ=－ｊ１２
Ｘ(ｓ)＝(－ｊ６)/(ｓ＋ｊ)＋(ｊ６)/(ｓ－ｊ)＋(ｊ１２)/(ｓ＋ｊ２)－(ｊ１２)/(ｓ－ｊ２)
ｘ(ｔ)＝ｊ６ｅ＾(ｊｔ)ｊ－６ｅ＾(－ｊｔ)＋ｊ１２ｅ＾(―ｊ２ｔ)－ｊ１２ｅ＾(ｊ２ｔ)＝ｊ６{ｅ＾(ｊｔ)－ｅ＾(－ｊｔ)}＋ｊ１２{ｅ＾(－ｊ２ｔ)－ｅ＾(ｊ２ｔ)}＝ｊ６{(ｃｏｓｔ＋ｊｓｉｎｔ)－(ｃｏｓｔ－ｊｓｉｎｔ)}＋ｊ１２{(ｃｏｓｔ－ｊｓｉｎｔ)－(ｃｏｓｔ＋ｊｓｉｎｔ)}＝ｊ６(２ｊｓｉｎｔ)＋ｊ１２(－２ｊｓｉｎｔ)＝－１２ｓｉｎｔ＋２４ｓｉｎｔ＝１２ｓｉｎｔ　//
と解いて、こないだ本サイトで答えがあっているかどうか質問させていただいたのですが、回答者さんから係数Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄすべて間違っていると指摘されました。もう一回やってみたら同じ答えが出てきてしまいました。正しい答えを教えていただきたいと思います。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

前に解答した者です。
係数を求める際に
1/○
の丸の分母だけを計算されていることにお気づきでないですか？

部分分数展開が正しいかは、分解した結果の分数式を
通分して足し合わせてみれば正しいかが分かります。
あるいは、
分解前の式と部分分数展開した式は同じ式ですから、ｓに任意の値を代入して、左辺＝右辺を確認すればいいですね。
自分で、ミスを発見する方法を知っていないと、試験などで大失敗をすることになります。

＞Ａ=１/{(ｓ－ｊ)(ｓ+ｊ２)(ｓ－ｊ２)}｜ｓ＝－ｊ　＝－ｊ６
1/○の分子を忘れて分母の○の式だけの計算をしていませんか？
Ａ=１/{(ｓ－ｊ)(ｓ+ｊ２)(ｓ－ｊ２)}｜s=-j
＝1/{(-2j)j(-3j)}=1/(6j^3)=1/(-6j)=j/6　が正解です。

以下も分数であることを忘れ、分母だけの計算をしていませんか？
＞Ｂ=ｊ６
＞Ｃ=ｊ１２
＞Ｄ=－ｊ１２
多分、全部逆数をとれば正しい係数が出てくると思います。
少し、そそっかしいですね。
係数A,B,C,Dが正しく出せれば、逆変換も正しく出て来ると思います。

前に指摘したように、通常は極が虚数になる場合は、
(as+b)/(s^2+1),(cs+d)/(s^2+4)のように部分分数展開する法が定石（計算も簡単、計算ミスが少なくなる、逆変換がスマートにできる）です。
定石は、過去に多くの先輩たちがやってみて、スマートでミスが少ない方法として考えられたものです。わざわざ無駄な計算をして、計算ミスをしては、何のために遠回りして計算するか分かりませんね。
一度は無駄な計算もしてみることも、定石のすばらしさを知る上でいいかも知れませんが…。

質問の問題の場合はｓの式の分子が定数ですから
#1さんの「もしくは」の後に続く解法が一般的だと思います。
最終解はA#1の
(1/3)sin(t)-(1/6)sin(2t)
で正解ですね。

回答No.3

info22

#2です。

A#1の補足質問について
＞後半の解答のａ＋ｂ＝０とはどういうことですか？
未定係数法を使って係数を決めるので
左辺右辺が同じ式ということですから
＞as^2+4a+bs^2+b=1
この式はsの恒等式という事です。sの同じ次数の係数同士が等しくなりますから s^2の係数同士を左辺と右辺で等しいと置いた式が
a＋b=0
ｓの一次の項がなく、定数項の比較で2番目の式
4a+b=1
が出てきます。2つの式を連立にして方程式を解けば、a,bが求まります。

未定係数法をちゃんとものにしておきましょう。

お礼

ご丁寧にありがとうございます。
お陰で何とかわかるようになりました。
テストがんばります！！

回答No.1

joggingman

L(sinat)=a/(s^2+a^2)　だから、
L^-1{1/(s^2+1^2)}＝sin(t)
L^-1{2/(s^2+2^2)}＝sin(2t)　です。

あとは畳み込み積分を使った逆変換をすると
ｘ(t)＝(1/2)∫[0→t] sin(t-τ)*sin(2τ)dτ
＝(1/2)∫[0→t] (-1/2){cos(t+τ)-cos(t-3τ)}dτ
＝(-1/4)[sin(t+τ)+(1/3)sin(t-3τ)}_0→t
＝(-1/4)(sin2t-sint+(1/3)sin(-2t)-(1/3)sint)
＝(-1/4){(2/3)sin(2t)-(4/3)sin(t)
=(1/3)sin(t)-(1/6)sin(2t)

もしくは、
X(s)={1/(s^2+1^2)}{1/(s^2+2^2)}=a/(s^2+1^2)+b/(s^2+2^2)
as^2+4a+bs^2+b=1
a+b=0
4a+b=1
a=1/3,b=-1/3
L^-1（X）＝(1/3)L^-1{1/(s^2+1^2)}-(1/3)(1/2)L^-2{2/(s^2+2^2)}
＝(1/3)sin(t)-(1/6)sin(2t)

お礼

ご解答ありがとうございました。
この方法は結構簡単に解けるんですね～

補足

後半の解答のａ＋ｂ＝０とはどういうことですか？
すみませんが教えてください。