円錐の問題

質問

底面の半径２cm、高さ４√２cmの円錐で、この円錐の側面積は、底面積の何倍かという問題で、母線の長さが６cmになって、そこから、
側面積＝６ニ乗π×２π×２／２π×６　と解説にあるのですが、その式の意味が分かりません。公式のようなものがあるんでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.2

noname#30727 · ベストアンサー

円錐の側面積は、側面を平面化した形、つまり扇形です。
扇形の面積は、同じ半径の円の面積を元に、その円の円周と扇形の弧の比率から求めることができます。（弧が円周の半分ならば、面積も半分になる）

円の面積は、π×６×６
円周の長さは、２π×６
弧の長さは、円錐の底面の円の円周で ２π×２

よって、扇形の面積は （６×６π）×（（２π×２）／（２π×６））となります。

お礼

回答ありがとうございます。
比で求めるやり方は、わかっていたのですが、側面の扇形の中心角でやるやり方しか知らなかったので、役に立ちました。

回答No.4

starflora

もう少し複雑な問題で、円錐の底面積と側面積の式を書いたのですが、次のようになっています：

＞　　１）
＞　　最初に、円錐の全表面積Ｓを求めます。Ｓは、側面部分の表面積Ｓ１と、底面の表面積Ｓ２の合計です。Ｓ＝Ｓ１＋Ｓ２　です。
＞　　
＞　　Ｓ２＝πｒ^2
＞　　Ｓ１＝π(r^2+h^2)Ｘ{2πr/2π√(r^2+h^2)}
＞　　　　＝πr√(r^2+h^2)
＞　　Ｓ１は、円錐の曲がった部分で、展開すると大きな円の弧に応じた部分の面積です。大きな円の半径は、√(r^2+h^2)で、この弧の長さに当たるのが、2πrなのです。
＞　　
＞　　Ｓ＝Ｓ１＋Ｓ２＝πr^2＋πr√(r^2+h^2)

　　これは、円錐の底面の半径をｒ、高さをｈとした一般式です。
　　Ｓ１が底面積で、Ｓ２が側面積です。

　　側面積の計算の方法は、円錐を平面に展開すると、側面積に当たる部分は、大きな円のなかの弧になるのです。この大きな円は、母線を半径とする円で、そのなかで弧が切り取る部分が、側面積になるのです。

　　ですから、大きな円の円周と、弧の長さを較べて、その比を、大きな円の面積にかけると、弧が造る円弧の面積つまり、円錐の側面積が出てくるのです。

　　大きな円の半径は母線の長さで、６です。大きな円の円周は、２π*６です。弧の長さは、底面の円の円周になるので、２π*２です。この二つを較べると、(２π*２)／(２π*６) です。

　　大きな円の面積は、母線を半径とする円の面積ですから、６*６*πとなるのです。これを続けて書くと：

　　Ｓ２＝(６*６*π)(２π*２)／(２π*６)

　　となるということです。（前の引用の式は、ｒとｈを使って複雑ですが、結局、こういう計算をしているのです）。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=213318

お礼

ご回答ありがとうございました。
わざわざ公式風にご説明してくださってありがとうございます。
一般式をたてるなんて、わたしにはとてもできない芸当なので、尊敬します！

回答No.3

Umada

6^2×π×(2π×2)
--------------
2^2×π×(2π×6)

とやったのは、
6^2×π・・・母線長を半径とする円の面積
2π×6・・・母線長を半径とする円の円周
(2π×2/2π×6)・・・側面を切り開いた時の、扇形の中心角(360°中で占める割合9
2^2×π・・・底面の面積
を丁寧に書いたからです。丁寧すぎてかえってpe-さんを混乱させてしまったようですね。

円錐の側面積は、母線の長さ×底面の円周÷2、で求められます。なんとなれば側面を切り開き、さらに小さな扇形に分割して互い違いに組み合わせると

←－πr－－→
△▽△▽△▽△　高さは母線長と同じ

になりますので。
問題の比は単純に考えれば母線長をR、底面の半径をrとして
πRr/πr^2
ですから、R/rとなるだけのことです。

お礼

回答してくださってありがとうございました。
式の意味が理解できました。
＞円錐の側面積は、母線の長さ×底面の円周÷2、で求められます
覚えておきますね。

回答No.1

hatsushio

公式は
円周＝直径（半径×２）×π
円面積＝半径の二乗×π
直角三角形の斜辺の二乗＝直角を挟む二辺の二乗の和（底辺の二乗＋高さの二乗）

母線は第三公式から６cm、これが側面展開図形（円の一部）の半径
側面展開図形を含む円全部の面積は第二公式から
６の二乗×π
側面積が宛然部に対してどの程度の割合かは
円錐底面の円周/円全部の円周、つまり
２cm×２π/６cm×２π

このことから、側面積は宛然部の面積×円全部に占める割合であり、
６の二乗×π×（２π×２/２π×６）
と現わすことができる。

お礼

回答ありがとうございました。側面の扇形の中心角を求めてからやるやり方以外の方法が学べてよかったです。学校ではそれしかやらなかったので。
それでは、また機会があったらおねがいします。