ルートのついた導関数の求め方

質問

以下の関数の導関数の求め方、解答をお願いします。

１）　y=√(１－^4√x)/(1+^4√x)

［これはどう表して良いのかわからなかったのですが、√の中に分数があって、分子が、１マイナスルートxの４乗根(１－^4√x)、分母が１プラスルートxの４乗根(1+^4√x)で、√xの前に小さい４がついてます。４乗根をあらわしてると思ってください」

＊まず、中学生レベルでお恥ずかしいのですが、分数全体にルートがかかっているとき、
√(分子)/√(分母）というふうにしてよかったのでしょうか？
＊√の前に４乗根があるとき、x^(1/4)としてよいのでしょうか？

回答No.2

nettiw · ベストアンサー

√(分子)/√(分母）でokです。x^(1/4)でokです。

y=((1-x^(1/4))/(1+x^(1/4)))^(1/2)
.............
y=v^(1/2)
v=((1-u)/(1+u))
u=x^(1/4)
.............
dy/dx=(dy/dv)(dv/du)(du/dx)
........................
dy/dv
=(1/2)(v^(-1/2))
=(1/2)(((1-u)/(1+u))^(-1/2))
=(1/2)(((1+u)/(1-u))^(1/2))
=(1/2)[(1+x^(1/4))/(1-x^(1/4))]^(1/2)
........................
(dv/du)
=(-(1+u)-(1-u))/((1+u)^2)
=(-2/((1+u)^2)
=(-2)[1/((1+x^(1/4))^2)]
........................
(du/dx)
=(1/4)[x^(-3/4)]
................................................
dy/dx
=(-1/4)・[(1+x^(1/4))/(1-x^(1/4))]^(1/2)・[1/((1+x^(1/4))^2)]・[x^(-3/4)]

　　　　　　　　　　　　　-1
=――――――――――――――――――――――――
　　4・[(1+x^(1/4))]^(3/2)・√[1-x^(1/4)]・x^(3/4)

関数の定義域は、0≦x≦1　で、
微分可能な範囲は、0＜x＜1 のようです。

お礼

ありがとうございました。
分かりやすく記入していただき助かりました。

回答No.1

log_az

>分数全体にルートがかかっているとき、√(分子)/√(分母）というふうにしてよかったのでしょうか？

OKです。

>√の前に４乗根があるとき、x^(1/4)としてよいのでしょうか？

言葉の使い方が若干おかしいです。x^(1/4)はxの4乗根を表します。