導関数の問題で...

質問

sinｘの導関数がsin（ｘ＋π/2）であることを使って、
sinｘcosｘ^3のｎ次導関数を求めたいのですが、途中で行き詰まってしまいました。

cosｘ^3を次数下げしていって
与式＝1/4（sin2ｘ＋1/2・sin4ｘ）
としたのですが、このあとどうしたら良いのでしょうか？

分かる方教えて下さい！

回答No.4

noname#24477 · ベストアンサー

そこまでできていたら、もう終わったも同然。
そこまでが面倒だと思うんです。

一般に最初のヒントから
sin(kx)の微分がksin(kx＋π/2)
もう一回微分するとk^2sin(kx＋π/2＋π/2）＝k^2sin(kx＋2π/2)
という具合に微分するたびに外にｋが出て（　）内に
＋π/2が増えていくので
ｎ回微分はk^nsin（kx＋ｎπ/2)
ｋが２のときと４のときで後は係数に気をつけて
整理したらＯＫ

お礼

分かりました！丁寧に教えて下さってありがとうございます！

回答No.3

senbayashi

＃1です

n次の導関数なのでしたね。
#2 では一次の場合ですが
それが理解できたら2次の場合も同じように考えれば
n次も同じようにします。

お礼

分かりました！ありがとうございます！

回答No.2

senbayashi

＃1です
すみません　文を勘違いしていました。
式をsinであらわすのはできたんですよね。

sinxの導関数がsin(x＋π/2）なら
sin2xならsin2(x＋π/2)としたいところですが
2xの分があるので2倍する

回答No.1

senbayashi

式をsinだけで表すことができればいいわけですよね?
まず加法定理から
sin a sin b
をcos (a+b)とcos(a-b)で表すことができますよね?
そのようにしてcosだけであらわすことができたら
それをsinにすればいいのでは