科学実験器具のロートの開口部角度は60度

質問

と小学校の理科の指導書に載ってあった。一般に　ろ紙は4つ折して開くからきっちり60度になる。その便利さのためか材料節約のためか、私が計算してみると、開口部側面の角度が60度で側面積に対する体積が最大と出たが、120度でも最大になった。正しい側面積に対する体積の最大値の角度でも、rとhの比でもよいから教えてほしい。仮に120度なら浅くてこぼれやすいので採用されないのだろう。過去のこのカテゴリを見たが、円錐と円柱を間違えているのや底面つきの面積もあって。・・・・。あらためてここでお尋ねします。実用的問題でしょう。よろしく。答えが正しければそれだけでもいいです。なお、この文字で示される二乗や根号にはにがてなのでその式は不要です。あ！　私が読めなくても傍観者が読むかな？

回答No.7

alice_44 · ベストアンサー

＞ 2009,8月13日13；45の回答が私に的を得た回答のようで、

既出に納得のいく回答があったのなら、再質問すべきではない。
補足に「その答えは既出だ」と書くなど、いわずもがな。
礼儀というより、人格の問題だと思う。

お礼

しばらくご無沙汰をしていて、お詫びとお礼が遅れたので申し訳ありません。確かに失礼な線を辿っていたかと思います。すみませんでした。

回答No.6

alice_44

訊かれたことに答えようよ。
質問サイトなんだからさ。

補足

アリス様のおっしゃることもごもっともですが、他の人の回答も約に立っております。質問者より。

回答No.5

cipher_roy

色々答えが出てきたようですが・・・、スレ主の方がロート内の最大許容量の話を持ち出しているために話が脱線しているような気がします。

大事なのは実験器具の開口部や注ぎ口がなぜ60度で作られているのか？ということなはずだと思いますが。

技術系出身の私が大学にいた際に教わった限りでは、私がA No.2で申し上げた２点が理由です。

・通過する容器内に残存したり、液ダレで他のところへ飛び散る損失が一番少ないのが60度である
・ろ紙を４等分に折った時に出来る円錐が作る断面が正三角形（各頂角が60度）になるため、さらに60度という区切りの良い角度だと器具生産の際にも工作機械の設定・加工が容易

ロートは何も最大許容量で溢れるぎりぎりまで溜めて使わなければいけないものではありません。ある程度こぼれにくい状態が得られるなら、こぼれない範囲（流速）で滴下できればそれで良いのです。

せっかく難しい計算をしていただいた方もいるのに、顔を潰すようになって申し訳ありません。

お礼

私の知識が増えました。有難う。

回答No.4

alice_44

「側面積に対する体積が最大」が、V/S の値が最大なことを指すなら A No.3。
S 一定の下で V が最大なことを指すなら A No.1 が答えとなる。
r 一定の下で θ を動かすと S も変化するから、その二つの問題は異なる。

回答No.3

okormazd

苦手だから、式はいらないというが、これがないと真偽の判定ができない。

ちょっと正確にするため、
円錐の頂点と底面の直径を含む平面で切ったときの断面の頂点の角度をθとします。
母線の長さをrとして、θとrで円錐の体積Vと、側面積Sを表すと、

V=r^3/3・π(sin(θ/2))^2・cos(θ/2)
S=2πr^2・sin(θ/2)

になりませんか。(傍観者向けです)

ここで、rを一定にしてθ(0～180°)によってVとSがどう変わるか見ると、
Vは、θ=109.47°(四面体角)で最大、
Sは単調増加
です。
V/Sは、θ=90°で最大になります。

だから、質問者の計算とは違うようになりました。

ロートの「開口部側面の角度が60度」というのは、「ろ紙は4つ折して開くからきっちり60度」になるからでしょう。
そうでないとろ紙を折るのに面倒でしょうがない。「ひだ折り」というのもあるがこれも面倒です。

傍観者のみなさん、上の式が違っていたらこっそり教えてください。

お礼

90度ということがわかって有難かったです。

回答No.2

cipher_roy

詳しい計算式による証明の部分までは覚えていませんが、60度という角度は、ある容器から別の容器へ液体を注ぎ移す時に一番液ダレが起こらない角度（つまり移動による損失量が最小限で済む）だということが昔から知られています。

理科の実験用のビーカーやメスシリンダーなどの注ぎ口もそうですし、民間用としては、醤油メーカーのキッコーマンの卓上ボトルの注ぎ口も60度に切り取られています。（キッコーマンはこのボトルで特許も持っています）

さて経験則はさておき、ろ紙をきっちりの４等分に折って作った円錐ですが

元のろ紙の半径をrとすると、円錐に折った時の底面の円周の長さは、４つ折の半分の長さになるので、
円錐の底面の円の半径をRとすると

２πR＝πr

よって

R＝(1/2)r

ここで円錐の斜面の辺、円錐の高さ、円錐底面の半径で形成される直角三角形において、

斜面の辺は元のろ紙の半径にあたるのでr

円錐底面の半径は上記より(1/2)r

このあと、三平方の定理で円錐の高さhを求めても構わないのですが、円錐底面の直径と円錐斜面で形成される三角形を考えると、

斜面の２辺は上記より元のろ紙の半径のためr

円錐底面の直径は

2×(1/2)r＝r

よって３辺全てが等しくrなので正三角形である

このため、これにフィットするようにロートの開口面を作ると、その断面も正三角形となり、開口部側面の角度も60度となる

120度も、正三角形を2等分して切断したものを元の底辺部分を合わせた向きでおけば、成立するのですが、ろ紙を折るときに120度の開口になるように調節して折るのはけっこうめんどくさいのです。

黙って普通に折れば自動的にきれいな正三角形の60度になってくれるので、それが一番早い・・・という訳ですね。

私の証明だとけっこう遠回りしているような気もしますが、もっと簡単に出来る方がいたらフォローをお願いします。

お礼

体積最大の答えは出ていませんが、液垂れについては初めて知りました。有難う。

回答No.1

alice_44

式は不要とのことなので、答えだけ書く。
側面積一定の条件下に体積が最大となるのは、
上半径と深さの比が 1：√2 のとき。
このとき、円錐の頂角は 2 arctan(1/√2)、
側面の中心角は (2/√3)π で、
どちらも、度数で表記し易い角度ではない。

補足

これがお礼になるかもわからない。１：√２と言う答えは、数学カテゴリで「円錐　体積と側面積の比　微分」で検索すると、何通も回答があったが2009,8月13日13；45の回答が私に的を得た回答のようで、なおあなたにバックアップいただいたようで有難うございます。バックアップで失礼かと存じますが、すみません。(ここで接続詞見当たらず）上を向いた全開口（半分でない）が、水平面とガラスの角度tan55°が1,4だから開口は35度の2倍でおよそ70度と出ました。紙の折りやすさやこぼれる云々のことを加味してロートは60度になっているのでしょうと仮に思っておきます(人に話すときは「らしい」とつけます）。ガラス節約では60度にならないことを知りこのコーナーが有益だったと思いました。補足がありましたら7番目以後の回答を下さい。