動摩擦力が働くときの力学的エネルギー。

質問

高さhの斜面AB,水平面BC,傾斜角30°の斜面CDがなめらかにつながっている。
またどの面もなめらかである。
いま、高さhの点Aに質量mの小物体をおいて手を離した。重力加速度の大きさをgとする。
(1)点Bでの物体の速さはいくらか。
(2)小物体がCD上を昇るとき、CD上の移動距離Lを求めよ。
次に斜面CDをあらい面に変え、同じ操作をした。動摩擦係数μのとき、

(3)小物体がCDを昇るとき、CD上の移動距離L'を求めよ。
(4)摩擦によって失われたエネルギーの値を求めよ。

質問は(3)です。

まず(1)(2)と違ってあらい面なので、動摩擦力つまり非保存力が働くので力学的エネルギー保存則は使えないから、運動方程式で解こうと思いました。

斜面方向下向きを正にして、
ma= - mgsinθ- μmgcosθ
よって、a = -(sinθ-μcosθ)ｇ　となる。

CD面を上る直前の速度をv₀とすると、v₀=√2gh 、
CD面を上り終えたときの速度は0　これらを下の式

v^2 - v₀^2 = 2ax

に当てはめて解いたのですが、答えがまったく違いました。いったい何を間違えたのでしょうか。
わかりません。

何故間違いか、そして正しくて理解しやすい解き方を教えてください。

(4)は力×距離でわかります。

答え
(1)√2gh
(2)2h
(3)2h/(1+√3μ)
(4)｛√3μ/(1+√3μ)｝mgh

回答No.3

foomufoomu · ベストアンサー

＞何故間違いか、
μが作用するのは、C-D間なので、μcosθでなくμcos30°が式に出てくるはず。
摩擦によって、どんどん加速度が減っていくので、微分方程式になると思う。
（運動方程式は、めんどうなので、深く考えていません）

＞そして正しくて理解しやすい解き方を教えてください。
この問題は、エネルギー保存則を使うと簡単に解けます。摩擦をふくむ問題は、たいていエネルギーを使ったほうが簡単です。
摩擦力が移動中にする仕事 μ*W*L が、移動中に失われるエネルギーです。

最初の位置エネルギー　mgh
C-D間に失われるエネルギー　μmgcos30°*L =√(3)/2*μmgL
これより
mgh-√(3)/2*μmgL = mgLsin30°=mgL/2
mgh-mgL(√(3)/2*μ+1/2)=0
L=h/(√(3)/2*μ+1/2)

お礼

エネルギー保存則が分かりにくかったので、運動方程式で解いていましたが、この回答で保存則での解き方がよくわかりました。またgohtrawさんの指摘で運動方程式でも解けると確認できたので助かりました。

回答No.5

Tann3

No.2です。「下向きを正にして」と言いながら、少しいい加減に書いていましたので、正確に書き直します。

(以下、差替え版)

　荒い面が「ＣＤ」なのですから、斜面ＣＤを登るときに、下向きの重力加速度に加え、下向きの摩擦力が働きます。従って、物体にはたらく下向きの力は、

　　ma= mgsin30°＋ μmgcos30°

よって、

　　a= g/2 ＋ (√3/2）μg　　　　(1)

　斜面を登る速度は、

　　v = v0 - a・t　　　　　　←訂正

　最高点では速度がゼロ（ v = 0 ）になるので

　　t = v0/a　　　　　　　　(2)

　また、斜面ＣＤ上に沿った位置 x は、斜面の開始点Ｃを基準点（x=0）として、

　　x = v0・t - (1/2)a・t^2　　　　　　←訂正

　最高点での x は、これに(2)を代入して、

　　x = v0^2/a - v0^2/2a = v0^2/2a

　さらに　vo = √2gh　と(1)を代入して

　　x = 2gh/( g ＋ (√3）μg )
　　　= 2h/(1 + (√3）μ)

補足

丁寧にありがとうございました。

回答No.4

gohtraw

v^2 - v₀^2 = 2ax 　に
a = -(sinθ+μcosθ)ｇ　およびｖ＝０、ｖ０＾２＝２ｇｈを代入して

-２gh＝-2(sinθ+μcosθ)ｇｘ
x=ｈ/(sinθ+μcosθ)

式はΘになっているがこれは３０°なので、
ｓｉｎΘ＝１／２、ｃｏｓΘ＝√３／２

これらを代入して
x=h/（（１＋√３μ）／２）
　＝２ｈ／（１＋√３μ）

となるのだが、どこが的を得てないのか説明してくれるかな？

補足

私の間違いでした。θ=30°を忘れていました。

回答No.2

Tann3

まず、最初の式

＞ma= - mgsinθ- μmgcosθ

に何故θが登場するのですか？　しかも「斜面方向下向きを正にして」なのに右辺がマイナスになっているし、カッコでくくった中の符号が違っているし・・・。

　荒い面が「ＣＤ」なのですから、斜面ＣＤを登るときに、下向きの重力加速度に加え、下向きの摩擦力が働きます。従って、物体にはたらく下向きの力は、

　　ma= mgsin30°＋ μmgcos30°

よって、

　　a= g/2 ＋ (√3/2）μg　　　　(1)

　斜面を登る速度は、

　　v = v0 + a・t

　最高点では速度がゼロ（ v = 0 ）になるので

　　t = - v0/a　　　　　　　　(2)

　また、斜面ＣＤ上に沿った位置 x は、斜面の開始点Ｃを基準点（x=0）として、

　　x = v0・t + (1/2)a・t^2

　最高点での x は、これに(2)を代入して、

　　x = - v0^2/a + v0^2/2a = v0^2/2a

　さらに　vo = √2gh　と(1)を代入して

　　x = 2gh/( g ＋ (√3）μg )
　　　= 2h/(1 + (√3）μ)

回答No.1

gohtraw

＞ma= - mgsinθ- μmgcosθ
＞よって、a = -(sinθ-μcosθ)ｇ　となる。

a = -(sinθ+μcosθ)ｇ　では？

補足

その通りですが・・・。
的を得てないかと思います。