幾何学の証明です

質問

命題pnを「1/n以下の正の数である」と定め、An={x∈R:pn(x)が真である}とおくとき、
∩{An:n∈N}を求めよ。　Aの添え字が1をA_1としています
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【解答】
Anの任意の元xについてx≦0、1≦ｘのときはx∈A_1となる。
0＜x＜1のときはnを十分に大きくするとx/nとなり、このnに対してx∈でないA_nとなる。
よって、すべてのAnに含まれる元xは存在しない。
∩{An:n∈N}＝空集合
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でよろしいでしょうか？
解答1行目の
「Anの任意の元xについてx≦0、1≦ｘのときはx∈A_1となる。」を「x∈でないA_1」とするべきですか？
よろしくお願いします。

回答No.4

kumipapa · ベストアンサー

＞　であれば問題ないのですか？
細かな点で突っ込みどころはあるにせよ、大筋は間違っていないでしょう。しかし、空集合になることを説明しているだけで、数学的に示している（証明している）とは言えないと思います。それは、あちらの回答者さんの「説明」が悪いのではなく、それを「証明」だと勘違いしている人が悪いと思う。

＞　一番良い解答はどのようにしたらよいのでしょうか
既に回答済みです。具体的にどう記述すべきなのかは、既に勉強してきたはずの事です。

少しは、こちらの問いかけにも答えて頂けませんか？こちらの問いかけには何もお答え頂けず、とにかく教えろっていうのはどんなもんでしょうか？

・　１行目は無いほうが良い。言う必要の無いことを言おうとし（ということは、問題が見えていない、分かっていないということ）、かつ、その内容を間違えていて、さらに、全体の論理の邪魔にしかなっていない。それが１行目です。お分かりになっているのでしょうか？

・　２行目：　十分大きな n というのは、具体的に n が何より大きければ「十分大きな」と言えるのですか？簡単過ぎて馬鹿馬鹿しいと思われるかも知れませんが、それを示してください。
「十分大きな」は文学的な説明であって証明ではありません。こんな簡単な問題ならばまだしもですが、万人を説得できる証明ではないということです。

以上を踏まえて、新たに解答案を補足欄へどうぞ。

お礼

続けての質問に答えていただきありがとうございました。
もう一度考えてみますのでこの質問は締め切らせていただきます。

回答No.3

kumipapa

「x∈でないA1」ではあまりにも読みづらいので、「xはA1の元でない」は x ∈/ A1 と表すことにさせてください。

すると、質問者さんの解答案は、

Anの任意の元xについてx≦0、1≦ｘのときはx∈A_1となる。（か、x ∈/ A1 か迷ってる）
０＜x＜1 のときは n を十分に大きくすると (1/n)＜x となり、このnに対して x ∈/ A_n となる
∴ ∩{An:n∈N}＝空集合

ということで、宜しいでしょうか。

1行目）
仮に１行目が正しい（x≦0, x≧1 で x∈A_1 である）として、最後の行の「∴ ∩{An:n∈N}＝空集合」の根拠にも何もならないでしょう？だから、何を言いたくて1行目があるのかが分からないです。「 x ∈/ A_1 とすべきなのか」などと聞かれるのは、正直言って安易に過ぎるように思えます。
A_1 とか An って具体的にどんな集合（区間）になりますか？ (-∞,+∞) とか、(0,∞) とか、(0,1] とか (0, 1/n] とか・・・。少しでも考えれば、x ∈ A_1 なのか x ∈/ A_1 なのか迷うような余地は無いでしょう。
また、最初の「An の任意の元 x について」も引っかかります。最初に An を持ち出したのには、何かはっきりした意図はあるのでしょうか？なぜ ∀x ∈ A_1 じゃ駄目だったのか、なぜ単に「任意の正数x」としては駄目だと思ったのか、なぜ、得体の知れない An を持ち出したのかです。

2行目）
「 n を十分に大きくすると (1/n)＜x となり」を自明のように主張するのは、多分、出題者が期待しているところではないでしょう。それをちゃんと示せってことだと思います。「1/n が 0 に収束することを証明しろ」と言われてるのと同じだと思って示せば、文句は言われないと思います。

補足

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1418483064
であれば問題ないのですか？
一番良い解答はどのようにしたらよいのでしょうか？

回答No.2

kumipapa

申し訳ありませんが、何を言っているのか全く持って意味不明です。

結局、１行目は何のために何を言いたのでしょうか？
A1 というのは具体的にどのような集合になりますか？

ｎを十分に大きくすると、何が x/n となるのですか？
そして、何かが x/n になったとして、なぜ　x は An の元でないと主張できるのですか？

1/n が 0 に収束することをきちんと説明するとどうなりますか？

以上、可能であれば補足へどうぞ。

補足

解答の2行目が間違っていました。正しくは「0＜x＜1のときはnを十分に大きくすると(1/n)＜xとなり、このnに対してx∈でないA_nとなる」です。
私の解答がこのようになっていたので、どこがマズイのか分かりません。すみませんがよろしくお願いします。

回答No.1

kabaokaba

>でよろしいでしょうか？
だめ．テストだったら0点．

>とするべきですか？
どっちでもテストだったら0点．

「空集合」という答えそのものは正しいのだが
そこにいたる論述が
日本語としても数学としても
まったく意味をなしてないので
0点となる．