幾何の問題

質問

dが集合X上の距離で、任意のx,y,z∈Xに対して、
d(x,z)≦max{d(x,y),d(y,z)}
を満たすものとする。d(x,y)≠d(y,z)ならば、d(x,z)=max{d(x,y),d(y,z)}であることを示せ。

という問題なのですが、
まったくわかりません!!
どこから話を始めればいいのかもわかりません!!

回答よろしくお願いします。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

まず、距離関数の性質から、d(x,y)=d(y,x)　が成り立つ。

任意のx,y,z∈Xに対し、
それぞれの距離、d(x,y),d(x,z),d(y,z)の大きさを較べたとき、
もしどれか１つが他の２つより大きいとき、例えば、
d(x,y)＞d(x,z)、d(x,y)＞d(y,z)
とすると、
d(x,y)≦max{d(x,z),d(y,z)}
と矛盾する。

従って、d(x,y),d(x,z),d(y,z)　の関係は、
すべて同じか、２つが同じで残り１つより大きくなる。
(1)　d(x,y)=d(x,z)=d(y,z)
(2)　d(x,y)＜d(x,z)=d(y,z)
(3)　d(x,z)＜d(x,y)=d(y,z)
(4)　d(y,z)＜d(x,y)=d(x,z)

d(x,y)≠d(y,z)とすると、(1),(3)は除かれるので、
d(x,y)＜d(x,z)=d(y,z)　または　d(y,z)＜d(x,y)=d(x,z)
どっちの場合でも、
d(x,z)=max{d(x,y),d(y,z)}
が成立する。

お礼

回答ありがとうございました。

すごく難しいと感じていたのですが、いろいろな場合を考えるとすっきり解決されていて、とてもわかりやすかったです。

ありがとうございました。