論理学、正しい演繹かどうか分かりません

質問

野矢茂樹先生の新版論理トレーニングの課題演習で次のような問題がありました。
次の推論は、演繹として正しいか、誤っているか。誤っている場合はどうして誤りなのか説明せよ、というものです。番号は私がふりました。

あるクラスの学生について調べたところ、(1)倫理学をとっている学生は誰も論理学をとっていなかった。また、(2)哲学をとっている学生は全員論理学をとっていた。このことから、(3)倫理学をとっていない学生だけが哲学をとっている、と結論できる。

私の考えは、以下の通りで正しい演繹ではないとなりましたが、ベン図を書くと結論は正しいようです。書籍に解答が無く困っています。どなたかご教授お願いします。

倫理学をとっているをA、倫理学をとっていないをa、
論理学をとっているをB、論理学をとっていないをb、
哲学をとっているをC、哲学をとっていないをcとする。
(1)はA→b、(2)はC→B、これらを前提として(3)a→Cと結論できるかが問題となっている。(1)の対偶はB→aであるから、(2)と併せてC→aは成り立つ。a→CはC→aの逆であるため、正しい演繹とはいえない。

回答No.2

noname#212313 · ベストアンサー

以下、多少文言を変えてあります。集合で考えてみます。

命題１> (1)倫理学をとっている学生ならば、論理学をとっていない学生である。

「○○学を取っている学生」を「○○学」と表し、その補集合を便宜的に「￢○○学」と書くことにします。命題１は集合の包含関係として以下の状況となります。

　倫理学⊂￢論理学

　後で使いやすくするため、対偶をとってみます。

対偶１> (1)論理学をとっている学生ならば、倫理学をとっていない学生である。

　集合では以下のようになります。

　論理学⊂￢倫理学　―(1)

　要は排他的ということですね。

命題２> (2)哲学をとっている学生ならば、論理学をとっている学生である。

　これも同様に以下のようになります。

　哲学⊂論理学　―(2)

　(1)と(2)から集合の包含関係は以下のようになります。

∴哲学⊂論理学⊂￢倫理学　―(1＆2)

> このことから、(3)倫理学をとっていない学生だけが哲学をとっている、と結論できる。

　これがもし「倫理学をとっていない学生ならば、哲学をとっている学生である」を意味するのなら、間違った命題です。「哲学をとっている学生」は「倫理学をとっていない学生」の部分集合ですから。

　一方、「倫理学をとっていない学生の一部は哲学をとっている」を意味するなら正しい命題です。

　「倫理学をとっている学生」は「論理学をとっている学生」と排他的であり、「哲学をとっている学生」は「論理学をとっている学生」の部分集合である以上、やはり「哲学をとっている学生」も「倫理学をとっている学生」と排他的です。

> これらを前提として(3)a→Cと結論できるかが問題となっている。

　これは「(3)倫理学をとっていない学生ならば、哲学をとっている学生である」という解釈ですね。お示しでない部分で、そのように問題が規定されているなら、不成立ということで正しいです。

　一方、「(3)倫理学をとっていない学生だけが、哲学をとっている可能性を持つ」ということなら、成立します。

　要は(3)の解釈次第で、どちらともとれる多義性があるため（かつ、ある解釈では間違いで、別の解釈では正しいため）、正誤の結論が出せないのです。

お礼

図を添えて教えて頂きまして、ありがとうございました。私の間違いの原因が分かったと同時に、ベン図(集合に関しての図)での考え方は間違っていなかったと確認できました。勉強を進めていきたいとお思います。

回答No.1

kireinahanabi

結論はご指摘のように正しいです。
なぜ間違ったかというと、
（３）が、a→Cではないからです。それだと、倫理学をとっていないならば、哲学をとっているになってしまいますが、問題文では倫理学をとっていない生徒が必ず哲学を取っているとはいっていません。両方とっていない生徒もいる（可能性がある）わけです。

お礼

ご回答ありがとうございます。自分の誤りの原因が分かりました。大変参考になりました。今後、注意して勉強したいと思います。