ハミルトニアンについて

質問

ハミルトニアンと可換になる演算子は必ず存在するのでしょうか？
証明方法も教えていただけるとありがたく思います
よろしくお願いいたします

回答No.2

heboiboro · ベストアンサー

#1です。
うっかりしていましたが、恒等演算子はハミルトニアンと可換でかつエルミートでありユニタリでもあるので、ご質問の答えがYESなのは当たり前でしたね。
とはいえそれでは求めている答えと違うでしょうし、どこまでを許容されるか分かりませんが、とりあえず恒等演算子を除いて答えます。

>つまり、ハミルトニアンと可換になるユニタリ演算子は必ず存在するか、ということです
ハミルトニアンと可換なエルミート演算子 A があったら、U=exp(iA) と定義されたAはユニタリであり、またハミルトニアンと可換です。
ここで U = exp(iA) とは、無限級数 Σ(iA)^n/n! で定義される演算子のことです。Aがエルミートなとき、U†=exp(-iA)となります。

よって、#1に書いた演算子を使えば、 U_n = exp(i|ψ_n><ψ_n|) は、ハミルトニアンと可換なユニタリ演算子です。

お礼

まだ私自身、いただいた回答の内容の全てを理解できているわけではないのですが、
当面の疑問は解消いたしました
ご丁寧な回答、どうもありがとうございました！
これからじっくり確認していきたいと思います

回答No.1

heboiboro

ハミルトニアンの固有状態を |ψ_n> とします。
このとき、演算子A_nを、 A_n=|ψ_n><ψ_n| と定義すると、
(1)A_nはエルミート演算子であり、
(2)A_nはハミルトニアンHと交換する
ことが示せます。よって、ハミルトニアンと可換になるエルミート演算子は必ず存在します。

補足

ご回答ありがとうございました！
加えて質問をさせていただきたいのですが、
A_n A_n=1
という条件を加えることができれば、
ハミルトニアンと可換になるユニタリ演算子は必ず存在する、
といえますよね？
しかしそのような条件を満たす演算子は常に存在するのでしょうか？
(つまり、ハミルトニアンと可換になるユニタリ演算子は必ず存在するか、ということです)